javascript - 查找幂集的加权子集和的最大值

Question

我有一个输入的稀疏幂集(即一些组合已被预先排除)。幂集中的每个条目都有一定的分数。我想找到涵盖所有点并使总分最大化的组合。

例如，假设输入生成如下:

function powerset(ary) {
  var ps = [[]];
  for (var i = 0; i < ary.length; i++) {
    for (var j = 0, len = ps.length; j < len; j++) {
      ps.push(ps[j].concat(ary[i]));
    }
  }
  return ps;
}

function generateScores() {
  var sets = powerset([0, 1, 2, 3]);
  sets.pop() //remove the last entry to make it "sparse"
  var scores = {};
  for (var i = 1; i < sets.length; i++) { //skip 0-len
    var set = sets[i];
    var val = 0;
    for (var j = 0; j < set.length; j++) {
      val |= (1 << set[j]);
    }
    scores[val] = ~~Math.pow(((Math.random()+1)*4),set.length);
  }
  return scores;
}
var scores = generateScores();

输出看起来像这样:

{
  "1": 7,
  "2": 4,
  "3": 36,
  "4": 5,
  "5": 32,
  "6": 50,
  "7": 84,
  "8": 4,
  "9": 30,
  "10": 50,
  "11": 510,
  "12": 47,
  "13": 73,
  "14": 344,
}

由于顺序无关紧要，我可以将组合转换为位掩码并将其用作 key 。所以阅读表格:“3”的键是 011 以 2 为底，这意味着链接 0-1 会产生 36 分，而 0 单独 + 1 单独产生总和 11，因此链接 0-1 大于其部分 0,1 的总和。

在这样做的过程中，我将其简化为加权子集求和问题，目标是找到总和为 15 的每个组合(相当于基数 2 中的 1111)，然后取最大值这就是我被困的地方。我尝试使用动态规划，但由于随机性，我看不出如何减少。例如，1-2可能比1,2好(在上表中，“3”的得分高于“1”+“2”)。但是 1-3,2 可能比 1-2,3 或 1-2-3 更好。

我怎样才能有效地找到最佳组合？ (蛮力是不可行的)。对于此示例，解决方案为“11”+“4”，总计 515。

Answer 1

您想找到总和为 15 且没有任何重叠位的元素组合，从而最大化所选元素的分数。

为此，定义一个函数 bestSubset(use, valid) 输入一组需要使用的元素和一个有效包含但尚未考虑的元素子集.它通过考虑有效集合中的元素 s 递归操作，考虑使用 s 或未使用它的情况(如果使用它，则任何元素不能再使用重叠位)。

这是一个 javascript 实现:

var scores = {1:7, 2:4, 3:36, 4:5, 5:32, 6:50, 7:84, 8:4, 9:30, 10:50, 11:510, 12:47, 13:73, 14:344};
var S = [];
for (var prop in scores) {
  S.push([parseInt(prop), scores[prop]]);
}

var n = 15;  // Target sum
var k = S.length;  // Number of weights

function bestSubset(use, valid) {
  if (valid.length == 0) {
    var weightSum = 0;
    var scoreSum = 0;
    var weights = [];
    for (var ct=0; ct < use.length; ct++) {
      weightSum += S[use[ct]][0];
      weights.push(S[use[ct]][0]);
      scoreSum += S[use[ct]][1];
    }
    if (weightSum == n) {
      return [weights, scoreSum];
    } else {
      return false;
    }
  }

  // Don't use valid[0]
  var valid1 = [];
  for (ct=1; ct < valid.length; ct++) {
    valid1.push(valid[ct]);
  }
  var opt1 = bestSubset(use, valid1);

  // Use valid[0]
  var use2 = JSON.parse(JSON.stringify(use));
  use2.push(valid[0]);
  var valid2 = [];
  for (ct=1; ct < valid.length; ct++) {
    if ((S[valid[0]][0] & S[valid[ct]][0]) == 0) {
      valid2.push(valid[ct]);
    }
  }
  var opt2 = bestSubset(use2, valid2);

  if (opt1 === false) {
    return opt2;
  } else if (opt2 === false || opt1[1] >= opt2[1]) {
    return opt1;
  } else {
    return opt2;
  }
}

var initValid = [];
for (var ct=0; ct < S.length; ct++) {
  initValid.push(ct);
}
alert(JSON.stringify(bestSubset([], initValid)));

这将返回得分为 515 的集合 [4, 11]，如您在原始帖子中所确定的那样。

来自非稀疏情况下的一些计算实验(又名 d 数字和目标 (2^d)-1，包括所有数字 1， 2, ..., (2^d)-1), 我发现这在位数上呈指数运行(它在递归函数顶部检查有效性的次数是 O (e^(1.47d)))。这比您分别考虑包括或不包括每个数字 1, 2, ..., (2^d)-1 的蛮力情况要快得多，后者以双指数运行运行时 -- O(2^2^d)。