algorithm - 动态规划的复杂组合条件

Question

我正在探索动态规划设计方法如何与问题的底层组合属性相关。

为此，我正在研究硬币找零问题的典型实例:设S = [d_1, d_2, ..., d_m] 和 >n > 0 是请求的金额。除了 S 中的元素之外，我们可以通过多少种方式将 n 相加？

如果我们遵循动态规划方法来为该问题设计一个算法，该算法将允许具有多项式复杂性的解决方案，那么我们将首先查看该问题以及它与更小和更小的问题之间的关系。更简单的子问题。这将产生一个递归关系，描述一个归纳步骤，根据相关子问题的解决方案来表示问题。然后，我们可以实现内存技术或制表技术，分别以自上而下或自下而上的方式有效地实现这种递归关系。

解决此问题实例的递归关系可能如下(Python 3.6 语法和基于 0 的索引):

def C(S, m, n):
    if n < 0:
        return 0
    if n == 0:
        return 1
    if m <= 0:
        return 0
    count_wout_high_coin = C(S, m - 1, n)
    count_with_high_coin = C(S, m, n - S[m - 1])
    return count_wout_high_coin + count_with_high_coin

这种递归关系会产生正确数量的解，但不考虑顺序。然而，这种关系:

def C(S, n):
  if n < 0:
    return 0
  if n == 0:
    return 1
  return sum([C(S, n - coin) for coin in S])

在考虑顺序时产生正确数量的解决方案。

我有兴趣通过递归关系捕获更微妙的组合模式，可以通过内存/制表进一步优化该关系。

例如，这个关系:

def C(S, m, n, p):
    if n < 0:
        return 0
    if n == 0 and not p:
        return 1
    if n == 0 and p:
        return 0
    if m == 0:
        return 0
    return C(S, m - 1, n, p) + C(S, m, n - S[n - 1], not p)

产生一个不考虑顺序的解，但只计算被加数为偶数的解。可以修改相同的关系来考虑偶数个被加数的顺序和计数:

def C(S, n, p):
    if n < 0:
        return 0
    if n == 0 and not p:
        return 1
    if n == 0 and p:
        return 0
    return sum([C(S, n - coin, not p) for coin in S])

但是，如果我们想要分割硬币的人超过 1 人怎么办？假设我想将 n 分成 2 个人。无论每个人获得的总金额是多少，每个人都会获得相同数量的硬币。在 14 个解决方案中，只有 7 个包含偶数数量的硬币，这样我就可以平均分配它们。但我想排除向每个人分配多余的硬币。例如，当顺序很重要时，1 + 2 + 2 + 1 和 1 + 2 + 1 + 2 是不同的解决方案，但它们代表了两个人的相同硬币分配，即 B 会得到 1 + 2 = 2 + 1。我很难想出一个以非冗余方式计算分割的递归。

Answer 1

(在详细阐述可能的答案之前，让我指出，计算硬币交换的分割数，即使是 n，按总和而不是硬币-计数或多或少是微不足道的，因为我们可以计算交换 n/2 的方式数量并将其乘以自身:)

现在，如果您想根据硬币数量来计算硬币交换的分割，并排除分配给每个人的冗余硬币(例如，分割 1 + 2 + 2 + 1 分成两个相同大小的部分只能是 (1,1) | (2,2)、(2,2) | (1,1) 或 (1,2) | (1,2) 并且每个部分中的元素顺序并不重要)，我们可以依赖您对忽略顺序的分区的第一个枚举。

但是，我们需要知道每个分区中元素的多重集(或相似元素的聚合)，以便计算将它们分成两部分的可能性。例如，要计算分割 1 + 2 + 2 + 1 的方式，我们首先要计算我们拥有的每种硬币的数量:

def partitions_with_even_number_of_parts_as_multiset(n, coins):
  results = []

  def C(m, n, s, p):
    if n < 0 or m <= 0:
      return

    if n == 0:
      if not p:
        results.append(s)
      return

    C(m - 1, n, s, p)

    _s = s[:]
    _s[m - 1] += 1

    C(m, n - coins[m - 1], _s, not p)

  C(len(coins), n, [0] * len(coins), False)

  return results

输出:

=> partitions_with_even_number_of_parts_as_multiset(6, [1,2,6])
=> [[6, 0, 0], [2, 2, 0]]
                ^ ^ ^ ^ this one represents two 1's and two 2's

现在，由于我们正在计算选择其中一半的方法，因此我们需要在多项式乘法中找到 x^2 的系数

(x^2 + x + 1) * (x^2 + x + 1) = ... 3x^2 ...

表示从多重集计数中选择两个的三种方式[2,2]:

2,0 => 1,1
0,2 => 2,2
1,1 => 1,2

在Python中，我们可以使用numpy.polymul来乘多项式系数。然后我们在结果中查找适当的系数。

例如:

import numpy    

def count_split_partitions_by_multiset_count(multiset):
  coefficients = (multiset[0] + 1) * [1]

  for i in xrange(1, len(multiset)):
    coefficients = numpy.polymul(coefficients, (multiset[i] + 1) * [1])

  return coefficients[ sum(multiset) / 2 ]

输出:

=> count_split_partitions_by_multiset_count([2,2,0])
=> 3