实现高阶分形的算法

Question

我正在尝试为 n 阶 Koch 分形编写代码，定义为: 为此，我正在 Matlab 中实现代码。我已经能够开发出能够绘制二阶分形的代码(尽管零阶和一阶分形非常容易)。为此，我将代码基于 this post 。到目前为止，我已经得到了这个，它可以工作，但显然只适用于二阶(或一和零，只需编辑一点代码)

clear all;
clc;
close all;
hold on;
% Counter-clockwise rotation matrix
R = [cosd(60) -sind(60);sind(60) cosd(60)];
angles = [0 60 -60 0 0]; % main angles
n = 2; % order
% Length of each straight segment
seglength = 3^-(n-1);
% Initialization of variables
a=0;
b=0;
c=1/3;
d=0;
for i=1:4^(n-2)
    for j=1:4
    p1 = [a;b];
    p5 = [c;d];
    p2 = (2.*p1+p5)/3;
    p4 = (2.*p5+p1)/3;
    p3 = p2 + R*(p4-p2);
    x = [p1(1) p2(1) p3(1) p4(1) p5(1)];
    y = [p1(2) p2(2) p3(2) p4(2) p5(2)];
    line(x,y);

    a=a+seglength*cosd(angles(j));
    c=c+seglength*cosd(angles(j+1));
    b=b+seglength*sind(angles(j));
    d=d+seglength*sind(angles(j+1));
    end
end
axis equal;

我知道这不是一个干净且最佳的代码。我只是对任何可以帮助我开发 n 阶科赫分形的技巧感兴趣，只需改变 n 的值即可。

感谢任何帮助!

Answer 1

您当然可以改进您的算法，特别是利用矢量化将计算减少到单个 for 循环(并使其可以轻松地将其扩展到任何顺序)。您甚至不需要递归(尽管这是另一种选择)。这是一个向量化函数 koch:

function [x, y] = koch(N, x, y)
  R = [cosd(60) -sind(60); sind(60) cosd(60)];
  x = x(:).';
  y = y(:).';
  for iOrder = 1:N  % Loop N times
    x1 = x(1:(end-1));
    x5 = x(2:end);
    x2 = (2.*x1+x5)./3;
    x4 = (x1+2.*x5)./3;
    y1 = y(1:(end-1));
    y5 = y(2:end);
    y2 = (2.*y1+y5)./3;
    y4 = (y1+2.*y5)./3;
    temp = R*[x4-x2; y4-y2];
    x = [x1; x2; x2+temp(1, :); x4];
    y = [y1; y2; y2+temp(2, :); y4];
    x = [x(:).' x5(end)];
    y = [y(:).' y5(end)];
  end
end

对于每次迭代时的一组 M 点(x 和 y)，每条线的起始点由 x(1:(M-1)) 且终点由 x(2:M) 给出。您可以通过构建一个 4×M-1 矩阵将 3 个新点交错在这些点之间，其中顶行是您的起始点，每个连续行是 3 个新点之一(计算为在你的链接中)。使用 (:).' reshape 结果矩阵(并添加最后一个端点)将为您提供 1×4*M-3 点集该行，可供下一次迭代使用。

这是正在运行的代码:

[x, y] = koch(0, [0 1], [0 0]);
plot(x, y);
axis equal;
hold on;
[x, y] = koch(1, x, y);  % or [x, y] = koch(1, [0 1], [0 0]);
plot(x, y);
[x, y] = koch(1, x, y);  % or [x, y] = koch(2, [0 1], [0 0]);
plot(x, y);
[x, y] = koch(1, x, y);  % or [x, y] = koch(3, [0 1], [0 0]);
plot(x, y);
legend({'0' '1' '2' '3'});

请注意，您可以通过传递 n 和起点或传递 1 来获得 n^th 阶分形> 和n-1^th分形的点。