我有以下问题需要优化。对于给定的数组(允许重复的键),对于数组中的每个位置 i
,我需要计算 i
右侧的所有较大值,以及左侧的所有较小值我
。如果我们有:
1 1 4 3 5 6 7
和 i = 3
(值 3),i
左边较小值的计数是1
(无重复键),右侧较大值的个数为3
。
这个问题的蛮力解决方案是 ~N^2
,有了一些额外的空间,我可以设法从较大的值中计算出较小的值,从而将复杂性降低到 ~( N^2)/2
。
我的问题是:有没有更快的方法来完成它?也许 NlgN
?我想象那里有一个我不知道哪个数据结构可以让我更快地进行计算。
编辑:感谢大家的回复和讨论。您可以在下面的两个问题中找到两个很好的解决方案。在 stackoverflow 中向开发人员学习总是很愉快。
最佳答案
这是一个 O(n log n)
解决方案。
正如@SayonjiNakate 所暗示的,使用线段树的解决方案(我在我的实现中使用了 Fenwick 树)在 O(n log M)
时间运行,其中 M
是数组中的最大可能值。
首先,注意“左边小元素的个数”问题通过对数组取反和求反等价于“右边大元素个数”的问题。所以,在我下面的解释中,我只描述了“左边较小元素的数量”,我称之为“lesser_left_count”。
lesser_left_count 的算法:
想法是能够找到小于特定数字的数字的总数。
定义一个大小为
tree
的数组MAX_VALUE
,它将为已见数字存储值1
,否则为0
。然后当我们遍历数组时,当我们看到数字
num
时,只需将值1
赋给tree[num]
(更新操作)。那么数字num
的 lesser_left_count 是到目前为止从1
到num-1
的总和(求和运算),因为当前位置左侧的所有较小数字都将设置为1
。
简单吧?如果我们使用 Fenwick tree ,更新和求和操作可以在 O(log M)
时间内完成,其中 M
是数组中的最大可能值。由于我们正在遍历数组,因此总时间为 O(n log M)
。
天真的解决方案的唯一缺点是它使用大量内存,因为 M
变大(我在我的代码中设置 M=2^20-1
,它占用大约 4MB 的内存)。这可以通过将数组中的不同整数映射到更小的整数(以保留顺序的方式)来改进。通过对数组进行排序,可以简单地在 O(n log n)
中完成映射。因此,数字 M
可以重新解释为“数组中不同元素的数量”。
所以内存就不是问题了,因为如果经过这次改进你确实需要大内存,那就意味着你的数组中有那么多个不同的数字,时间复杂度为O(n)
无论如何,已经太高了,无法在普通机器上计算。
为了简单起见,我没有在我的代码中包含该改进。
哦,因为芬威克树只适用于正数,所以我将数组中的数字转换为最小值 1。请注意,这不会改变结果。
Python代码:
MAX_VALUE = 2**20-1
f_arr = [0]*MAX_VALUE
def reset():
global f_arr, MAX_VALUE
f_arr[:] = [0]*MAX_VALUE
def update(idx,val):
global f_arr
while idx<MAX_VALUE:
f_arr[idx]+=val
idx += (idx & -idx)
def cnt_sum(idx):
global f_arr
result = 0
while idx > 0:
result += f_arr[idx]
idx -= (idx & -idx)
return result
def count_left_less(arr):
reset()
result = [0]*len(arr)
for idx,num in enumerate(arr):
cnt_prev = cnt_sum(num-1)
if cnt_sum(num) == cnt_prev: # If we haven't seen num before
update(num,1)
result[idx] = cnt_prev
return result
def count_left_right(arr):
arr = [x for x in arr]
min_num = min(arr)
if min_num<=0: # Got nonpositive numbers!
arr = [min_num+1+x for x in arr] # Convert to minimum 1
left = count_left_less(arr)
arr.reverse() # Reverse for greater_right_count
max_num = max(arr)
arr = [max_num+1-x for x in arr] # Negate the entries, keep minimum 1
right = count_left_less(arr)
right.reverse() # Reverse the result, to align with original array
return (left, right)
def main():
arr = [1,1,3,2,4,5,6]
(left, right) = count_left_right(arr)
print 'Array: ' + str(arr)
print 'Lesser left count: ' + str(left)
print 'Greater right cnt: ' + str(right)
if __name__=='__main__':
main()
将产生:
Original array: [1, 1, 3, 2, 4, 5, 6] Lesser left count: [0, 0, 1, 1, 3, 4, 5] Greater right cnt: [5, 5, 3, 3, 2, 1, 0]
or if you want Java code:
import java.util.Arrays;
class Main{
static int MAX_VALUE = 1048575;
static int[] fArr = new int[MAX_VALUE];
public static void main(String[] args){
int[] arr = new int[]{1,1,3,2,4,5,6};
System.out.println("Original array: "+toString(arr));
int[][] leftRight = lesserLeftRight(arr);
System.out.println("Lesser left count: "+toString(leftRight[0]));
System.out.println("Greater right cnt: "+toString(leftRight[1]));
}
public static String toString(int[] arr){
String result = "[";
for(int num: arr){
if(result.length()!=1){
result+=", ";
}
result+=num;
}
result+="]";
return result;
}
public static void reset(){
Arrays.fill(fArr,0);
}
public static void update(int idx, int val){
while(idx < MAX_VALUE){
fArr[idx]+=val;
idx += (idx & -idx);
}
}
public static int cntSum(int idx){
int result = 0;
while(idx > 0){
result += fArr[idx];
idx -= (idx & -idx);
}
return result;
}
public static int[] lesserLeftCount(int[] arr){
reset();
int[] result = new int[arr.length];
for(int i=0; i<arr.length; i++){
result[i] = cntSum(arr[i]-1);
if(cntSum(arr[i])==result[i]) update(arr[i],1);
}
return result;
}
public static int[][] lesserLeftRight(int[] arr){
int[] left = new int[arr.length];
int min = Integer.MAX_VALUE;
for(int i=0; i<arr.length; i++){
left[i] = arr[i];
if(min>arr[i]) min=arr[i];
}
for(int i=0; i<arr.length; i++) left[i]+=min+1;
left = lesserLeftCount(left);
int[] right = new int[arr.length];
int max = Integer.MIN_VALUE;
for(int i=0; i<arr.length; i++){
right[i] = arr[arr.length-1-i];
if(max<right[i]) max=right[i];
}
for(int i=0; i<arr.length; i++) right[i] = max+1-right[i];
right = lesserLeftCount(right);
int[] rightFinal = new int[right.length];
for(int i=0; i<right.length; i++) rightFinal[i] = right[right.length-1-i];
return new int[][]{left, rightFinal};
}
}
这将产生相同的结果。
关于java - 计算数组位置的更小和更大的值,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/18993619/