algorithm - 将树线性化为数组并回答路径上的 "sum"查询

Question

这个问题的动机是 travtree codechef 中的问题。在editorial他们建议通过在 DFS 遍历中记录每个节点的发现和退出时间，将树线性化为数组。现在我们可以快速回答有关sum subtree 的查询 - 通过对该节点的 [discovery time, exit time] 段中发生的事件求和。 (我们使用 Fenwick 树来快速回答这些查询)。

但是，要解决该问题，我们还需要快速回答sum path 查询。那就是 - 对沿 a, b 之间的最短路径发生的事件求和。这怎么可能？他们给出的答案是这样的:

对于每个有趣的事件，他们都会更新:

    update(BT2,event_node,1);
    update(BT2,out[event_node],-1);

sum path(a,b) 现在是这样的:

    int l = lca(a,b);
    ans = query(BT2,a) + query(BT2,b) - query(BT2,l) -  (l==1  ? 0 : query(BT2, parent[0][l]));

其中query是前缀和。怎么才对呢？？当您查看直到 a 的前缀和时，您可能会遇到很多与 l 和 a 之间的路径无关的节点!

Answer 1

为了线性化 sum path 查询 - 在树节点 a, b 之间的最短路径上发生的事件的总和，我们确实必须执行以下操作:

当节点 v 发生事件时，我们 update(IN[v], 1) 和 update(OUT[v], -1)。 IN 是节点的 DFS 发现时间，OUT 是 DFS 退出时间。

现在查询将是 query(IN[b]) - query(IN[a]-1)。 query(IN[b]) 是一个前缀和:它从根开始，遍历树直到到达 b。请注意，对于每个节点v，我们将不在直接路径上从root 传递到b，我们将发现并最终退出它。仅对于路径上的节点，我们将发现并且不会退出。由于我们更新的方式，这意味着我们将有效地对路径 root, b(包括 b)上的节点求和。

现在很明显 query(IN[a]-1) 中发生了同样的事情 - 它是路径 root, a 上节点的总和(不是这次包括 a)。减去它们得到 a, b。画个草图，您会亲眼看到。

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为了完整性 - sum subtree 的方法在 update 和 query 中是不同的。对于每个事件，您只需 update(IN[v])。现在查询 sum subtree(a) 我们执行 query(OUT[a]) - query(IN[a]-1)。这次在 query(OUT[a]) 中，我们对遍历的所有节点求和，直到发现 a，然后对 a 中的所有节点求和子树直到我们退出它。现在我们减去 query(IN[a] - 1) - 所有节点，直到我们发现 a。我们只剩下 a 子树。