python - 包含许多点的椭球方程

Question

我有大量的像素颜色(96,000 种不同的颜色):

我想得到某种数学定义的概率区域，例如 this question :

我现在看到的主要障碍——谷歌上的所有方法主要是关于可视化和二维空间，但没有找到方程系数的算法，例如:

a₁x² + b₁y² + c₁y² + a₂xy + b₂xz + c₂yz + a ₃x + b₃y + c₃z = 0

和this paper在 python 中实现它对我来说太难了。 :(

无论如何，我只想确定某个像素是否或多或少位于我所拥有的音域内。

我尝试使用 scikit 集群来实现它，但由于只有一个而失败了 一组数据，大概。并创建一个数组 256³ 元素 表示每个像素颜色的方式似乎是错误的。

不知道有没有简单的方法来确定这个点簇的边界？ 或者，也许我只是想得太多了，还有像 OpenCV 这样的东西 cv2.inRange() 函数？

Answer 1

这可以通过椭圆多项式的优化和拟合来解决。然而，我会从更快的几何方法开始:

1. 找到平均点位置

   那将是你的椭圆体的中心

   p0 = sum (p[i]) / n      // average
   i = { 0,1,2,3,...,n-1 }  // of all points
   

   如果您的点密度不是同质的，那么使用边界框中心会更安全。所以找到 xmin,ymin,zmin,xmax,ymax,zmax，它们之间的中间就是你的中心。

2. 找到离中心最远的点

   这会给你主要的半轴

   pa = p[j];
   |p[j]-p0| >= |p[i]-p0|   // max
   i = { 0,1,2,3,...,n-1 }  // of all points
   

3. 找到第二个半轴

   所以向量 pa-p0 垂直于其他半轴所在的平面。因此，从该平面找到到 p0 的最远点:

   pb = p[j];  
   |p[j]-p0| >= |p[i]-p0|   // max
   dot(pa-p0,p[j]-p0) == 0  // but inly if inside plane
   i = { 0,1,2,3,...,n-1 }  // from all points
   

   请注意，点积的结果可能不完全为零，因此最好针对以下内容进行测试:

   |dot(pa-p0,p[j]-p0)| <= 1e-3
   

   您可以使用任何您想要的阈值(应基于椭圆体大小)。

4. 找到最后一个半轴

   所以我们知道最后一个半轴应该垂直于两者

   (pa-p0) AND (pb-p0)
   

   所以找到这样的点:

   pc = p[j];  
   |p[j]-p0| >= |p[i]-p0|   // max
   dot(pa-p0,p[j]-p0) == 0  // but inly if inside plane
   dot(pb-p0,p[j]-p0) == 0  // and perpendicular also to b semi-axis
   i = { 0,1,2,3,...,n-1 }  // from all points
   

5. 椭圆体

   现在您拥有了形成椭圆体所需的所有参数。载体

   (pa-p0),(pb-p0),(pc-p0)
   

   是椭圆体的基向量(您可以使用叉积使它们垂直)。它们的大小为您提供了半径。 p0 是中心。您还可以使用此参数方程:

   a=pa-p0;
   b=pb-p0;
   c=pc-p0;
   p(u,v) = p0 + a*cos(u)*cos(v)
               + b*cos(u)*sin(v)
               + c*sin(u);
   u = < -0.5*PI , +0.5*PI >
   v = < 0.0 , 2.0*PI >
   

整个过程只是 O(n)，结果可以用作优化和拟合的起点，以在不损失准确性的情况下加快它们的速度。如果想进一步提高准确率见:

• How approximation search works

子链接向您展示了适合的例子......

你也可以看看这个:

• Algorithms: Ellipse matching

这与您的任务基本相似，但仅在 2D 中仍可能会给您带来一些想法。