arrays - 没有两个元素相邻的最大和

Question

现在每个地方的可用解决方案是有一个 include 和 exclude 总和。最后这两个的 max 会给我输出。

最初我很难理解这个算法，我想为什么不以简单的方式进行。

算法: 通过一次增加两个数组指针来遍历数组

1. 计算数组中奇数位置的元素和
2. 计算偶数定位元素和

最后，取这两个和的max。

那样的话，我认为复杂度会降低一半O(n/2)

这个算法正确吗？

Answer 1

这是动态规划的一个例子。算法是:

1. 不要采取(总结)任何非积极的项目
2. 对于正数，将问题一分为二:尝试接受和跳过该项目并返回这些选择中的最大值:

让我们展示第二步，假设我们得到:

[1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 125, -8, 9]

1 是正数，这就是为什么

take_sum = max(1 + max_sum([3, 4, 5, 6, 10, 125, -8, 9])) // we take "1"
skip_sum = max_sum([2, 3, 4, 5, 6, 10, 125, -8, 9])       // we skip "1" 
max_sum =  max(take_sum, skip_sum)

C#实现(最简单的代码，为了展示赤裸裸的思想，没有进一步优化):

private static int BestSum(int[] array, int index) {
  if (index >= array.Length)
    return 0;

  if (array[index] <= 0)
    return BestSum(array, index + 1);

  int take = array[index] + BestSum(array, index + 2);
  int skip = BestSum(array, index + 1);

  return Math.Max(take, skip);
}

private static int BestSum(int[] array) {
  return BestSum(array, 0);
}

测试:

Console.WriteLine(BestSum(new int[] { 1, -2, -3, 100 }));
Console.WriteLine(BestSum(new int[] { 100, 8, 10, 20, 7 }))

结果:

101        
120

请检查您的初始算法是否返回98 和117，它们是次优 总和。 p>

编辑:在现实生活中，您可能希望添加一些优化，例如内存和特殊情况测试:

private static Dictionary<int, int> s_Memo = new Dictionary<int, int>();

private static int BestSum(int[] array, int index) {
  if (index >= array.Length)
    return 0;

  int result;

  if (s_Memo.TryGetValue(index, out result)) // <- Memoization
    return result;

  if (array[index] <= 0) 
    return BestSum(array, index + 1);

  // Always take, when the last item to choose or when followed by non-positive item
  if (index >= array.Length - 1 || array[index + 1] <= 0) {
    result = array[index] + BestSum(array, index + 2);
  }
  else {
    int take = array[index] + BestSum(array, index + 2);
    int skip = BestSum(array, index + 1);

    result = Math.Max(take, skip);
  }

  s_Memo.Add(index, result); // <- Memoization

  return result;
}

private static int BestSum(int[] array) {
  s_Memo.Clear();

  return BestSum(array, 0);
}

测试:

  using System.Linq;

  ...

  Random gen = new Random(0); // 0 - random, by repeatable (to reproduce the same result)

  int[] test = Enumerable
    .Range(1, 10000)
    .Select(i => gen.Next(100))
    .ToArray();

  int evenSum = test.Where((v, i) => i % 2 == 0).Sum();
  int oddSum = test.Where((v, i) => i % 2 != 0).Sum();
  int suboptimalSum = Math.Max(evenSum, oddSum); // <- Your initial algorithm
  int result = BestSum(test);

  Console.WriteLine(
    $"odd: {oddSum} even: {evenSum} suboptimal: {suboptimalSum} actual: {result}");

结果:

  odd: 246117 even: 247137 suboptimal: 247137 actual: 290856