arrays - 卡丹的扭曲

Question

问题:
给定两个数组 A和 B , 尺寸均为 n , 求区间 [i,j] (0 <= i,j <= n-1)最大化 V = sum(A[i:j]) - min(B[i:j]) 的值.

没有数组 B扭曲，这个问题只是最大子数组和问题，可在O(N)中解决使用 Kadane 的算法。现在，我们有了第二个数组，我们从范围中选择最小元素，并从总和中减去它。

Example:  
 A = [-5, 2, 3, 4, 5]  
 B = [-5, 1, 2, 0, -5]  

Solution: 19   
i=1 to j=4  
2+3+4+5 - (-5) = 19  

一个简单的算法是做一个双循环来计算每个(i,j)间隔，但这种天真的方法有 O(N^2)时间复杂度。

我一直在努力寻找 O(N) ，或者至少是一个 O(NlogN)算法，但我还没有能够实现它。

如果有任何想法，我将不胜感激，谢谢!

编辑: Peter的解决方案实现，供引用:

#include<iostream>
#include<vector>
#include<climits>

using namespace std;

int kadane_modified(vector<int>& A, vector<int>& B){
    if(A.empty() || B.empty()) return 0;

    int size = A.size();

    // Backward Kadane's
    vector<int> R(size);
    int max_so_far = INT_MIN, max_starting_here = 0;

    for (int i = size-1; i >= 0; i--)
    {
        max_starting_here = max_starting_here + A[i];
        if (max_so_far < max_starting_here)
            max_so_far = max_starting_here;

        if (max_starting_here < 0)
            max_starting_here = 0;

        R[i] = max_starting_here;
    }

    // Forward Kadane's
    vector<int> F(size);
    max_so_far = INT_MIN; int max_ending_here = 0;

    for (int i = 0; i < size; i++)
    {
        max_ending_here = max_ending_here + A[i];
        if (max_so_far < max_ending_here)
            max_so_far = max_ending_here;

        if (max_ending_here < 0)
            max_ending_here = 0;

        F[i] = max_ending_here;
    }

    // DP that combines previous results
    vector<int> V(size);
    for(int k = 0; k < size; k++){
        if(k < size-1 & k > 0)
            V[k] = A[k] + R[k+1] - B[k] + F[k-1];
        else if(k == 0)
            V[k] = A[k] - B[k] + R[k+1];
        else if(k == size-1)
            V[k] = A[k] - B[k] + F[k-1];
    }

    // The maximum V is our answer
    int solution = INT_MIN;
    for(int i = 0; i < size; i++){
        if(solution < V[i]) solution = V[i];
    }

    return solution;
}

int main()
{
    vector<int> A = {-5, 2, 3, 4, 5};
    vector<int> B = {-5, 1, 2, 0, -5};

    int solution = kadane_modified(A, B);
    cout << solution << endl;

    return 0;
}  

输出:

19

Answer 1

Kadane 的算法计算在每个位置结束的 A 的最大总和(称为 F[i])。

您还可以在反向数组 A 上运行 Kadane 算法，以找到从每个位置开始的 A 的最大总和(称为 R[i])。

然后我们可以使用这两个数组来计算每个位置 k 的最大子数组和 A[i:j]-B[k]，其中 i<=k<=j(通过简单地计算 F[k-1] + A[k] + R[k+1] - B[k] 对于每个 k)。

这就解决了稍微不同的问题“找到满足 i<=k<=j 并且最大化 A[i:j] - B[k] 的区间 i:j”。但是，这取的最高值将与选择 B[k] 为 B[i:j] 的最小值相同，因此这等同于您的原始问题。

这种方法的复杂度是 O(n)。