algorithm - 合并两个列表的大 O 复杂性

Question

给定 2 个已经排序的单向链表，合并这些列表。

例子:
列表 1: 1 2 3 5 7
列表 2: 0 4 6 7 10
---> 0 1 2 3 4 5 6 7 7 10

尽管解决方案非常简单，并且使用或不使用递归(如 http://www.geeksforgeeks.org/merge-two-sorted-linked-lists/ 参见方法 3)有几种不同的问题实现方式，

我想知道这个实现的 O big 复杂性是什么:

1. 如果其中一个列表为空，则返回另一个
2. 否则使用 sortedInsert 函数将第二个列表的每个节点插入到第一个列表中，该函数基本上扫描列表直到找到正确的位置。因为 2 个列表都已经排序，所以不需要每次都比较第一个列表中的节点和所有节点，我可以从最后添加的节点开始比较。

例如:继续前面的例子，如果已经添加了 4，我可以安全地从 4 开始下一个比较:
列表 1:0 1 2 3 4 5 7
列表 2:6 7 10
现在比较 6 和 4 而不是 1 2 3 4....

如果我将一个元素与第一个列表中的所有元素进行比较，它将是 O(m*n) 与 m=#list2 和 n=#list1，但考虑到这种“优化”，复杂性是什么?

实现:

// Insert a new node in a sorted list
int sortedInsert(struct ListNode **head, struct ListNode* newNode) {
    int headUpdated = 0;
    struct ListNode *current;

    // The list is empty or the new element has to be added as first element
    if (*head == NULL || (*head)->data >= newNode->data) {
        newNode->next = *head;
        *head = newNode;
        headUpdated = 1;
    }
    else {
        // Locate the node before the point of insertion
        current = *head;
        while (current->next != NULL && current->next->data < newNode->data)
            current = current->next;

        newNode->next = current->next;
        current->next = newNode;
    }

    return headUpdated;
}


struct ListNode *mergeLists(struct ListNode *head1, struct ListNode *head2) {
    if (head1 == NULL)
        return head2;

    if (head2 == NULL)
        return head1;

    // Store the node in the first list where to start the comparisons
    struct ListNode *first = head1;

    while (head2) {
        struct ListNode *head2Next = head2->next;

        printf("Adding %d starting comparison from %d\n", head2->data, first->data);
        if (sortedInsert(&first, head2))
            head1 = first;

        first = head2;
        head2 = head2Next;
    }

    return head1;
}

Answer 1

实际上这里的合并算法是O(m + n)，而不是O(m * n)。

既然有了最后插入节点的指针，从那开始寻找插入下一个节点的地方，总共有多少

current = current->next

sortedInsert 中的操作最多为 m + n - 1(结果的长度减一)。插入操作(重新链接 next 指针)的次数为 n(第二个列表的长度)。对于每个比较

current->next->data < newNode->data

下一个操作要么是插入，要么是current = current->next，所以比较次数最多

m + 2*n - 1

假设结果列表以第一个列表中的 m_0 个元素开始，然后是第二个列表中的 n_1 个元素，然后是第二个列表中的 m_1 个元素第一个，n_2 来自第二个，...，n_r 来自第二个，最后是 m_r 来自第一个。 m_0 和 m_r 可以为 0，所有其他数字都严格为正数。

将 n_1 block 的第一个元素与 m_0 block 的每个元素和 m_1 block 的第一个元素进行比较。该 block 的所有其他元素与第二个列表中的前一个元素进行比较，m_1 block 的第一个元素 [除非 r = 1 和 m_1 = 0 ，在这种情况下比较较少]。

这使得 m_0 + 1 + (n_1 - 1)*2 = m_0 + 2*n_1 - 1 比较(或更少)。

对于后面的n_k block ，第一个元素与n_(k-1) block 的最后一个元素进行比较，m_的所有元素(k-1) block ，以及 m_k block 的第一个元素 [如果存在的话]。该 block 的其他元素都与列表 2 中的前一个元素进行比较，m_k block 的第一个元素[如果存在]，使得

 1 + m_(k-1) + 1 + (n_k - 1)*2 = m_(k-1) + 2*n_k

比较(或更少)。由于所有的比较都至少涉及到第二个列表中的一个元素，所以比较的总数最多为

m_0 + 2*n_1 - 1 + m_1 + 2*n_2 + m_2 + 2*n_3 + ... + m_(r-1) + 2*n_r <= m + 2*n - 1.

我们可以通过初始化稍微改进一下

    struct ListNode *first = head1;

并删除

    if (!first)
        first = head1;

从循环中测试。