python - 多少种可能的数字组合构成相同的二叉树

Question

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我有一个代表二叉树的数字列表。第一个数字与其他数字的处理方式不同，它是根。在“其余”数字中，有些会高于根，有些会较低。较高的数字按顺序向左移动，而较小的数字按顺序向右移动。示例:

list = [5,7,6,8,9,2,1,3,4]
root = 5
higher = [7,6,8,9] #in order of appearance
    root = 7
    higher = [8,9]
    lower  = [6]
lower  = [2,1,3,4] #in order of appearance
    root = 2
    higher = [3,4]
    lower  = [1]

在这种情况下，树看起来像这样:

                                      5
                        -------------| |--------------
                       |                             |
                       7                             2
             8--------| |-------6             3-----| |-----1
         ---|                              ---|
        9                                 4

我正在寻找一种方法来模拟列表 [5,7,6,8,9,2,1,3,4] 可以排列的可能组合的数量从而生成一棵完全相同的二叉树。解决方案肯定是递归的，因为在“较高”和“较低”数字的列表中，它们可以被分解得更多。

通过分解树来计算所有数字的排列方式有多少种，就像我们对上面的列表所做的那样。

parent 可以混用， child 可以混用，但 child 和 parent 不能混用

higher = [7,6,8,9]

但是 higher 列表不需要保留其 [7,6,8,9] 的顺序。只有不是另一棵树的父项的根更高的项目需要按出现顺序保留。因为 6 和 8 都是 7 的 child ，所以它们可以互换，但是 9 必须在 8 之前，因为它是 7 的 child 。所以基本上，重新排列此列表的唯一规则是:

• 必须以 7 开头
• 8 必须总是在 9 之前

因此有这三种组合。

[7,6,8,9]
[7,8,6,9]
[7,8,9,6]

所有这些都可以分解成相同的子树，所以我们的条件得到满足，现在我们可以查看比主根低的元素列表。

lower = [2,1,3,4]

下层列表也不需要保留其顺序，它遵循类似的规则，可以用三种不同的方式编写以生成相同的树:

[2,1,3,4]
[2,3,1,4]
[2,3,4,1]

我们现在有以下信息: - 较低的可以写成3种方式 - 更高的可以写成 3 种方式

它们可以组合多少种不同的方式来生产同一棵树？这是 3^3 吗？还是更多？

看看我知道的数字:

list = [5,7,6,8,2,1,3,4]

如果我列出了每个位置可能出现的数字，这是我最终得到的结果:

列表的第一个元素必须是5，它是根。之后它必须是 2 或 7，因为任何其他内容都会破坏较高/较低列表的顺序。之后，它变得凌乱。

如果第二个数字 = 2，则第三个数字可以是 1、3 或 7 中的一个。

如果第二个数字 = 7，则第三个数字可以是 6、8 或 2 中的一个。

在此之后，它扩展得更大，并且组合上升得非常快。我的问题是，有没有办法以有效的方式递归检索可能组合的总数？我将在 python 中执行此操作。谢谢。

Answer 1

据我了解，您需要与图形兼容的拓扑阶数，其中每个节点都有一个到其父节点的弧。我将在未经测试的 Python 中草拟一个解决方案。首先我们需要一个节点数据类型。

import collections

Node = collections.namedtuple('Node', ('left', 'right'))

一棵树要么是None(空树)，要么是一个Node，其中两个字段都是树。

现在，空树的拓扑阶数为 1，即只有空阶。非空树的拓扑阶数由以下计数参数给出。根永远是第一位的。在根之后，左子树的任意拓扑顺序与右子树的任意拓扑顺序任意打乱。因此，该公式是三个因素的乘积。

import math

def num_shuffles(left_size, right_size):  # binomial coefficient
    return (math.factorial(left_size + right_size) //
            (math.factorial(left_size) * math.factorial(right_size)))

def num_orders_and_size(tree):
    assert isinstance(tree, (type(None), Node))
    if tree is None:
        return (1, 0)
    else:
        left_num_orders, left_size = num_orders_and_size(tree.left)
        right_num_orders, right_size = num_orders_and_size(tree.right)
        return (num_shuffles(left_size, right_size) *
                left_num_orders * right_num_orders,
                left_size + 1 + right_size)

为了从列表构建树，我们使用递归(有更快的方法，但这是最简单的方法)。

def tree_from_list(lst):
    if not lst:
        return None
    root = lst[0]
    left_lst = [x for x in lst if x > root]
    right_lst = [x for x in lst if x < root]
    return Node(tree_from_list(left_lst), tree_from_list(right_lst))