algorithm - 在 Haskell 中内存最有效的方法是什么？

Question

在 Haskell 中内存递归函数的最快方法是什么？

背景:最近我一直在用 Haskell 解决 Project Euler 问题。许多需要对递归定义的组合或数论函数进行多次计算，例如斐波那契数。如果这些函数被内存，性能会显着提高，也就是说，函数的结果被缓存以备后用。

我见过很多解决这个问题的方法。最优雅的似乎是this.一个使用 Data.IntMap(或哈希表)和 State monad。 this answer 中建议的基于树的解决方案，这样的解决方案似乎相当普遍。再举一个例子，参见 this blog post .我见过其他使用内置函数的解决方案。第 2 节中有一个 here使用 fix，而且编译器有时似乎可以是 massaged into memoizing无需额外工作。还有几个 prebuilt solutions .

我想知道对于 Project Euler 中使用的各种函数，哪种内存方法在实践中最快。我的直觉说哈希表库是，因为哈希表似乎是命令式语言中首选的字典结构。纯功能树解决方案很酷，但我的谷歌搜索告诉我它们是 strictly worse than hash tables in terms of asymptotic performance.

编辑

一些评论说这个问题太宽泛，无法回答，经过深思熟虑我同意。因此，让我给出两个要内存的函数的具体示例:一个递归计算第 n 个斐波那契数的函数，以及一个递归计算加泰罗尼亚数的函数。对于大 n，我想多次计算这些函数。

我知道这些有明确的公式，但让我们忽略它，因为这里的真正目的是使用它们来基准内存技术。

Answer 1

当试图找到第 n 个斐波那契数时，您需要记住的唯一数字是前两个数字。你可以像 (f n-1, f n ) 这样的元组来做，并在每个循环中更新这个元组。请注意，更新元组是通过指针操作完成的，计算量并不大。

一个更简洁、更智能的替代方案是:

fibs :: [Integer]
fibs = fibcreator 0 1
  where
    fibcreator a b = a : fibcreator b (a+b)

nth = take n fibs

但我见过的最好的算法之一是:

1. 让我们定义一个矩阵 m = [e11 = 1,e12 =1,e21 = 1,e22 = 0]
2. 为了得到第 n 个斐波那契数，我们计算 m' = m ^ (n-1)
3. 矩阵m'中的e11个元素为第n个斐波那契数

现在很棒的是，为了得到 17 个斐波那契数，我们可以做

m' = ((((m^2)^2)^2)^2) * m

这显着减少了计算时间，并在算法中被动地嵌入了内存。 重点是 Haskell 已经使用这个算法来计算幂函数，所以你不需要实现它。完整的实现是:

data Matrix = Matrix Integer Integer Integer Integer

instance Num Matrix where
  (*) (Matrix a11 a12 a21 a22) (Matrix b11 b12 b21 b22)
   = Matrix (a11*b11 + a12*b21) (a11*b12 + a12*b22) (a21*b11 + a22*b21) (a21*b12 + a22*b22)

fib4 :: Integer -> Integer
fib4 0 = 0
fib4 n = x
  where
    (Matrix x _ _ _) = Matrix 1 1 1 0 ^ (n-1)