我不确定如何解决以下问题:
我有一个三角形,三个已知的顶点位置 A、B、C 中的每一个都不准确,这意味着它们每个都可以偏离特定的已知半径 rA、rB、rC 到任意方向。
给定这样一个三角形,我想计算三角形的两个特定边长的差异(例如边 a 和边 b 的长度之间的差异)在最坏的情况下可能会改变多少。这个问题有什么优雅的数学解决方案吗?
我想到的天真的方法是计算所有 360^3 角度组合并测量每种情况的边缘差异,这是一个相当高的开销。
最佳答案
下图说明了解决方案:
MinMaxEdgeDiff.png http://www.freeimagehosting.net/uploads/b0f0f84635.png
一些注意事项:
- 线段AC1和BC1代表|BC|的最大可能值- |AC|,而 AC2 和 BC2 行表示可能的最小值。在 C1 处,圆的切线必须平分 AC1 和 BC1 所成的角; C2 也是如此。
- AC1(当通过虚线延伸时)和 AC2 都通过 A。同样,BC1 和 BC2 通过 B。任何偏离中心的地方,线都会变得最长或最短。
最大和最小的区别是:
d1 = |BC1| - |AC1| = (|B->C1| + _rB_) - (|A->C1| - _rA_) = |B->C1| - |A->C1| + (_rA_ + _rB_) d2 = |BC2| - |AC2| = (|B->C2| - _rB_) - (|A->C2| + _rA_) = |B->C2| - |A->C2| - (_rA_ + _rB_)
因此最大和最小差异之间的变化是:
d1 - d2 = (|B->C1| - |A->C1|) - (|B->C2| - |A->C2|) + 2*(_rA_ + _rB_)
最后一点暗示可以通过从中心 A 和 B 求解,然后添加半径 rA 和 rB 来找到解。因此,C1 和 C2 的位置可以通过仅改变围绕 C 的边界圆的单个角度来迭代地发现(并且分开,因为它们彼此独立)。
我怀疑存在解析解。这是一个有趣的问题,但还不足以让我反对这项特定任务。对不起。 ;-)
关于algorithm - 计算不准确的三角形顶点位置对三角形边长的潜在影响,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/2612568/