arrays - 如何检查数组所有可能矩形的总和

Question

让我们假设我们有一个二维数组 A (n X n)。 A 的所有元素要么是 O 要么是 1。我们也有一个给定的整数 K。我们的任务是找到 A 中所有可能的“矩形”的数量，这些“矩形”包含总和为 K 的元素。

To give an example , if A = 
0 0 1 0 
1 0 0 1
1 1 1 1
1 0 0 1   and k=3 ,

0 0 1 0
1 0 0 1  holds the property ,

1 1 1 holds the property ,

  1 1 1 holds the property ,

0 0 
1 0 
1 1 holds the property ,

1 1
1 0  holds the property ,

    1 1
    0 1  holds the property ,

1
1
1  holds the property

1
1
1 holds the property 

所以除非我遗漏了什么，否则这个例子的答案应该是 8。

换句话说，我们需要检查 A 中所有可能的矩形，看它们的元素之和是否为 K。有没有比 O(n^2 * k^2) 更快的方法？

Answer 1

您可以在 O(n^3) 中完成此操作。

首先注意一个summed area table允许您在给定 O(n^2) 预处理时间的情况下在 O(1) 时间内计算任何矩形的总和。

在这个问题中我们只需要对列求和，但是一般的技术值得了解。

然后对于每个起始行和结束行组合，您可以对矩阵进行线性扫描，以使用双指针方法或简单地通过存储之前的总和来计算解决方案。

示例 Python 代码(为您的示例找到 14 种解决方案):

from collections import defaultdict
A=[[0, 0, 1, 0],
[1, 0, 0, 1],
[1, 1, 1, 1],
[1, 0, 0, 1]]
k=3

h=len(A)
w=len(A[0])

C=[ [0]*w for i in range(h+1)]
for x in range(w):
    for y in range(1,h+1):
        C[y][x] = C[y-1][x] + A[y-1][x]
# C[y][x] contains sum of all values A[y2][x] with y2<y

count=0
for start_row in range(h):
    for end_row in range(start_row,h):
        D=defaultdict(int) # Key is sum of columns from start to here, value is count
        D[0]=1
        t=0 # Sum of all A[y][x] for x <= col, start_row<=y<=end_row
        for x in range(w):
            t+=C[end_row+1][x] - C[start_row][x]
            count += D[t-k]
            D[t] += 1
print count