algorithm - 这段代码的复杂度是多少？

Question

我的代码是:

vector<int> permutation(N); 
vector<int> used(N,0);

void try(int which, int what) {
  // try taking the number "what" as the "which"-th element
  permutation[which] = what;
  used[what] = 1;

  if (which == N-1)
    outputPermutation();
  else
   // try all possibilities for the next element
  for (int next=0; next<N; next++)
    if (!used[next])
    try(which+1, next);

  used[what] = 0;
} 

int main() {
  // try all possibilities for the first element
  for (int first=0; first<N; first++)
    try(0,first);
}

我是从遇到这段代码的某个网站学习复杂性的。根据我的理解，以下行迭代了 N 次。所以复杂度是O(N)。

for (int first=0; first<N; first++)

接下来我在考虑递归调用。

for (int next=0; next<N; next++)
   if (!used[next])
    try(which+1, next);

因此，此递归调用涉及的步骤数 = t(n) = N.c + t(0)。(其中是某个常数步骤) 我们可以说对于这一步，复杂度是 O(N)。

因此总的复杂度是 - O(N.N) = O(N^2)

我的理解对吗？ 谢谢!

Answer 1

此算法的复杂度为 O(N!)(如果 outputPermutation 采用 O(N)，这似乎是可能的，则甚至为 O(N! * N))。

该算法输出0..N个自然数的所有排列，不重复。

递归函数 try 本身依次尝试将 N 个元素放入位置 which 并且对于每次尝试，它递归地为下一个 which 位置调用自身, 直到 which 达到 N-1。此外，对于每次迭代，try 实际上被调用 (N - which) 次，因为在每个级别上，一些元素被标记为 used 以便消除重复。因此，该算法需要 N * (N - 1) * (N - 2) ... 1 个步骤。