algorithm - 计算最终市场分布——竞争性编程

Question

我在练习竞争性编程时遇到了以下问题。我手动解决了它，有点设计了一种方法，但我的答案是错误的，我无法想象如何扩展我的方法。

问题:

N家咖啡链式店正在通过一场激烈的广告 war 夺市场份额。每天都会有一定比例的顾客被说服从一个链式店转到另一个链式店。

给出了当前的市场份额和客户转换的每日概率。如果广告永远播放，市场份额的最终分配是什么？

假设:总市场份额为 1.0，客户转换的概率与其他客户和天数无关。

示例:2 家咖啡链式店:A 和 B 的市场份额 A:0.4 B 的市场份额:0.6。

每天，客户从 A 切换到 B 的概率为 0.2 每天，客户从 B 切换到 A 的概率为 0.1

输入:market_share=[0.4,0.6],

switch_prob = [[.8,.2][.1,.9]]

输出:[0.3333 0.6667]

到这里为止的一切都是问题的一部分，我没有形成示例或假设，它们是随问题给出的。

My_attempt:在我的理解中，切换概率表示从A切换到B的概率。

因此，

market_share_of_A = current_market_share - lost_customers + gained_customers and 
marker_share_of_B = (1 - marker_share_of_A)

iter_1: 
    lost_customers = 0.4 * 0.8 * 0.2 = 0.064
    gained_customers = 0.6 * 0.2 * 0.1 = 0.012
    market_share_of_A = 0.4 - 0.064 + 0.012 = 0.348
    marker_share_of_B = 1 - 0.348 = 0.652

iter_2:
    lost_customers = 0.348 * 0.1 * 0.2 = 0.00696
    gained_customers = 0.652 * 0.9 * 0.1 = 0.05868
    market_share_of_A = 0.348 - 0.00696 + 0.05868 = 0.39972
    marker_share_of_B = 1 - 0.32928 = 0.60028

my answer: [0.39972, 0.60028]

如前所述，预期答案是[0.3333 0.6667]。

1. 我不明白我哪里错了？如果有什么不对的地方，那一定是我对问题的理解。请提供您的想法。

2. 在示例中，他们演示了一个简单的案例，即只有两个竞争对手。如果还有更多呢？让我们说三个 - A、B、C。我认为输入必须以 [[0.1, 0.3, 0.6]..] 的形式提供转换概率，因为 A 可能会失去其客户给 B 以及 C 并且会有很多这样的实例。现在，我必须计算至少两家公司的市场份额，第三家将是 (1-sum_of_all)。在计算 B 的市场份额时，我将不得不计算它失去的客户以及获得的客户，公式为 (current - lost + gained)。 Gained 将是 gain_from_A 和 gain_from_C 的总和。它是否正确？

Answer 1

根据我的评论，这个问题可以表示为矩阵方程。

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“转换”矩阵的元素T(i, j)(维度N x N)定义如下:

• i = j(对角线):客户留在链 i
的概率
• i != j(非对角线):链 j 的客户转移到链 i
的概率

这个矩阵的物理意义是什么？让市场份额状态由大小为 N 的向量 P(i) 表示，其第 i 值是链的市场份额我。向量 P' = T * P 是每天之后的下一个共享状态。

考虑到这一点，平衡方程由T * P = P给出，即最终状态在转换T下不变:

| T(1, 1)  T(1, 2)  T(1, 3) ... T(1, N) |   | P(1) |   | P(1) |
| T(2, 1)  T(2, 2)  ...                 |   | P(2) |   | P(2) |
| T(3, 1)  ...                          |   | P(3) |   | P(3) |
| .        .                            | * | .    | = | .    |
| .                 .                   |   | .    |   | .    |
| .                         .           |   | .    |   | .    |
| T(N, 1)                       T(N, N) |   | P(N) |   | P(N) |

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但是，这本身是无法解决的 - P 只能确定其元素之间的一些比率(我忘记了这种情况的技术名称 - 作为 MBo 表明这是由于退化)。还有一个额外的限制，即份额加起来为 1:

P(1) + P(2) + ... P(N) = 1

我们可以选择一个任意的共享值(例如，第 N 个)并将其替换为该表达式。相乘，等式第一行是:

T(1, 1) P(1) + T(1, 2) P(2) + ... T(1, N) (1 - [P(1) + P(2) + ... P(N - 1)]) = P(1)

--> [T(1, 1) - T(1, N) - 1] P(1) + [T(1, 2) - T(1, N)] P(2) + ... "P(N - 1)" = -T(1, N)

第二行的等价方程是:

[T(2, 1) - T(2, N)] P(1) + [T(2, 2) - T(2, N) - 1] P(2) + ... = -T(2, N)

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为了总结一般模式，我们定义:

• 矩阵S(i, j)(维度[N - 1] x [N - 1]):

  - S(i, i) = T(i, i) - T(i, N) - 1
  - S(i, j) = T(i, j) - T(i, N)         (i != j)
  

• 大小为 N - 1 的向量 Q(i) 包含 P 的前 N - 1 个元素(i)

• 大小为 N - 1 的向量 R(i)，这样 R(i) = -T(i, N)

方程式变为 S * Q = R:

| S(1, 1)   S(1, 2)  S(1, 3) ... S(1, N-1)   |   | Q(1)   |   | R(1)   |
| S(2, 1)   S(2, 2)  ...                     |   | Q(2)   |   | R(2)   |
| S(3, 1)   ...                              |   | Q(3)   |   | R(3)   |
| .         .                                | * | .      | = | .      |
| .                  .                       |   | .      |   | .      |
| .                          .               |   | .      |   | .      |
| S(N-1, 1)                      S(N-1, N-1) |   | Q(N-1) |   | R(N-1) |

求解上述等式得到 Q，它给出第一个 N - 1 共享值(当然还有来自约束的最后一个)。这样做的方法包括高斯消除和LU分解，这两种方法都比直接计算Q = inv(S) * R.

请注意，您可以翻转 S 和 R 中的符号，以便更方便地求值。

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上面给出的玩具示例非常简单:

| 0.8   0.1 |   | P1 |   | P1 |
|           | * |    | = |    |
| 0.2   0.9 |   | P2 |   | P2 |

--> S = | -0.3 |, R = | -0.1 |

--> Q1 = P1 = -1.0 / -0.3 = 0.3333
    P2 = 1 - P1 = 0.6667

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N = 3 的示例:

    | 0.1  0.2  0.3 |           | -1.2   -0.1 |        | -0.3 |
T = | 0.4  0.7  0.3 |  -->  S = |             | ,  R = |      |
    | 0.5  0.1  0.4 |           |  0.1   -0.6 |        | -0.3 |

         | 0.205479 |
-->  Q = |          | , P3 = 0.260274
         | 0.534247 |

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请原谅鲁滨逊漂流记风格的格式 - 我稍后会尝试用 LaTeX 编写这些格式以提高可读性。