algorithm - 没有镜像或循环重复的独特排列

Question

一些背景:我正在编写一个或多或少的蛮力搜索算法来解决我遇到的问题。为此，我需要生成并评估所有可能性以找出最佳方案。由于评估实际上需要一些时间，所以我更愿意生成尽可能少的完全覆盖我的搜索空间的解决方案。此外，我可以为它做的元素越多越好。对于任何数字 K，通常有 K!排列，并且对于大于 ~10 的数字生成它们将是困难的。

真正的问题:搜索空间应该包含两个元素的所有排列(N 乘以 el1 和 M 乘以 el2，其中 K=M+N)，具有以下限制:

1. 它们必须是唯一的(即我只想要 [a b b b] 一次)
2. 我不需要任何排列的逆序(即如果我有 [a a b]，我也不需要 [b a a])
3. 我认为排列是循环的，所以 [a a b] = [a b a] = [b a a]

如果我能做到这一点，可能性就会大大减少。由于理想情况下 K 会很大，因此首先生成所有排列然后根据这些标准过滤它们是不可行的。我已经完成了第一个限制(见下文)并将 Matlab 的正常排列函数(perms)的数量从 2^K 减少到 K!/N!M!，这是一个巨大的胜利。第二个限制只会将可能性的数量减少一半(在最好的情况下)，但我认为第三个限制也应该能够真正减少可能性的数量。

如果有人知道该怎么做，最好还知道如何计算会有多少种可能性，那将对我有很大帮助!我更喜欢解释，但代码也很好(我可以阅读类 C 语言、Java(脚本)、Python、Ruby、Lisp/Scheme)。

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对于有兴趣的人:这是我目前所拥有的仅获取唯一排列的算法:

function genPossibilities(n, m, e1, e2)
     if n == 0
         return array of m e2's
     else
         possibilities = genPossibilities(n-1, m, e1, e2)
         for every possibility:
             gain = number of new possibilities we'll get for this smaller possibility*
             for i in max(0,(m+n-gain))
                 if possibility(i) is not e1
                     add possiblity with e1 inserted in position i
         return new possibilities

• 如果您拥有 N-1 和 M 的所有排列，那么您可以通过将 e1 插入其中来使用它们来找到 N 和 M 的排列。但是你不能到处插入，因为那样你会得到重复的。我不知道为什么会这样，但你可以计算出你将从旧的可能性中产生的新可能性的数量(我称之为“增益”)。对于第一个旧排列，这个数字从 M+1 开始，并且对于每个旧排列减少一个，直到它变为零，此时它回到 M，等等(仅当 M>=N 时才有效)。因此，如果您想计算 N=3 和 M=3 的排列，并且您有 N=2 和 M=3 的 10 个排列，它们的增益将为 [4 3 2 1 3 2 1 2 1 1]。从排列的长度中减去该增益，您将得到可以开始插入新元素而不创建重复元素的索引。

Answer 1

您要查找的是二元手镯的子集(该子集恰好由字符 A 的 n 和字符 B 的 m 定义)。 所有 手镯组允许 A 和 B 的数量不同。

以下代码打印出您之后的序列，并按词法顺序和固定摊销时间进行打印。它基于this paper by Sawada中的通用算法- 有关其工作原理的解释，请参阅该论文。

#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>

static int *a;
static int n;

void print_bracelet(int n, int a[])
{
    int i;

    printf("[");
    for (i = 0; i < n; i++)
        printf(" %c", 'a' + a[i]);
    printf(" ]\n");
}

int check_rev(int t, int i)
{
    int j;

    for (j = i+1; j <= (t + 1)/2; j++)
    {
        if (a[j] < a[t-j+1])
            return 0;
        if (a[j] > a[t-j+1])
            return -1;
    }

    return 1;
}

void gen_bracelets(int n_a, int n_b, int t, int p, int r, int u, int v, int rs)
{
    if (2 * (t - 1) > (n + r))
    {
        if (a[t-1] > a[n-t+2+r])
            rs = 0;
        else if (a[t-1] < a[n-t+2+r])
            rs = 1;
    }
    if (t > n)
    {
        if (!rs && (n % p) == 0)
            print_bracelet(n, a + 1);
    }
    else
    {
        int n_a2 = n_a;
        int n_b2 = n_b;

        a[t] = a[t-p];

        if (a[t] == 0)
            n_a2--;
        else
            n_b2--;

        if (a[t] == a[1])
            v++;
        else
            v = 0;

        if ((u == (t - 1)) && (a[t-1] == a[1]))
            u++;

        if ((n_a2 >= 0) && (n_b2 >= 0) && !((t == n) && (u != n) && (a[n] == a[1])))
        {
            if (u == v) {
                int rev = check_rev(t, u);

                if (rev == 0)
                    gen_bracelets(n_a2, n_b2, t + 1, p, r, u, v, rs);

                if (rev == 1)
                    gen_bracelets(n_a2, n_b2, t + 1, p, t, u, v, 0);
            }
            else
                gen_bracelets(n_a2, n_b2, t + 1, p, r, u, v, rs);
        }

        if (u == t)
            u--;

        if (a[t-p] == 0 && n_b > 0)
        {
            a[t] = 1;

            if (t == 1)
                gen_bracelets(n_a, n_b - 1, t + 1, t, 1, 1, 1, rs);
            else
                gen_bracelets(n_a, n_b - 1, t + 1, t, r, u, 0, rs);
        }
    }
}

int main(int argc, char *argv[])
{
    int n_a, n_b;

    if (argc < 3)
    {
        fprintf(stderr, "Usage: %s <a> <b>\n", argv[0]);
        return -2;
    }

    n_a = atoi(argv[1]);
    n_b = atoi(argv[2]);

    if (n_a < 0 || n_b < 0)
    {
        fprintf(stderr, "a and b must be nonnegative\n");
        return -3;
    }

    n = n_a + n_b;
    a = malloc((n + 1) * sizeof(int));

    if (!a)
    {
        fprintf(stderr, "could not allocate array\n");
        return -1;
    }

    a[0] = 0;

    gen_bracelets(n_a, n_b, 1, 1, 0, 0, 0, 0);

    free(a);
    return 0;
}