运算符和操作数排列的算法

Question

我在一个面试网站上遇到了这个问题——
我们有 4 个数字，比如 n1、n2、n3、n4。我们可以将它们放在任何
顺序，我们可以在它们之间使用数学运算符 +、-、*、/
将最终结果设为 24。为此编写一个算法 - 这将需要
4 个数字，无论最终结果 24 是否可能，都返回 false 或 true
任意组合。同一个运算符可以多次使用。

做到这一点的方法之一是 -

置换运算符

置换操作数

将 2. 中的每个排列应用到 1. 中的每个排列。

该解决方案将是蛮力，而不是最佳解决方案。
我认为使用二叉搜索树可能有更好的解决方案。

Answer 1

使用 RPN(逆波兰表示法)

有关 RPN 介绍，请参阅 here .

问题规模

我们必须构建一个包含四个数字的列表，这意味着 3 个运算符。
这些数字和运算符将被压入堆栈或针对堆栈执行。

让我们调用执行列表 {a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7}。

{a1 a2} 应该是数字，因为堆栈上没有一元运算。

{a7} 应该是一个操作符，完成操作。

对于 {a3, a4, a5, a6} 我们有几个选项，但堆栈中必须始终至少有两个数字才能进行操作。所以可能的组合是:(N= number, O=Operator)

{N N O O}、{N O N O}、{O N O N}、{O N N O} 和 {N O O N}。

组合 {O O N N} 被禁止，因为第二个 O 的堆栈是空的。

所以我们有:

      | {N N O O} |  
      | {N O N O} |  
{N N} | {O N O N} | {O}  
      | {O N N O} |  
      | {N O O N} |  

现在我们将计算可能的安排。当然，我们多虑了，因为交换运算符(Plus 和 Times)可能会将置换树切成两半，但问题足够小，不必为此烦恼。 (在序列为 {O O} 的情况下，我们也多计了。但我们只是继续......)

我们必须在第一部分中选择四个数字中的两个数字，这是 12 种可能的安排。

对于中间段，剩下的两个数字可能只能进行置换，也就是因子2

但是我们还有另一个因素 5 来计算中间部分的五个备选方案。

对于三个运算符，因为它们可能会重复，我们有一个因子 4^3=64

所以问题的大小是粗体数字的乘积:12 2 5 64 = 7680。不需要优化，我们可以蛮力进行。

剩下的问题是构建 7680 安排和 RPN 评估器。这两个任务都比较简单。

我会发布它......它仍然是一个草稿，但已经太晚了!明天继续!

编辑:RPN 评估器

这是递归 RPN 评估器的代码。我选择用函数式语言( Mathematica )来简化操作符解析

rpn[listipt_, stackipt_: {}] := 
  Module[{list=listipt,stack=stackipt}, (*recursive rpn evaluator*)

    If[list == {}, Return[stack[[1]]]];        (*end*)
    If[NumberQ[list[[1]]],                     (*if numeric*)
     Return@rpn[Rest[list], PrependTo[stack,list[[1]]]];  (*push nbr and recurse*)
    ,
     (stack[[2]]=list[[1]][stack[[2]], stack[[1]]];       (*if not, operate*)
      Return@rpn[Rest[list], Rest[stack]];);              (*and recurse*)
   ];
];

使用示例

rpn[{1, 1, 1, Plus, Plus}]
3

rpn[{2, 2, 2, Plus, Plus}]
6

rpn[{2, 3, 4, Plus, Times}]  (* (4+3)*7 *)
14

rpn[{2, 3, 4, Plus, Divide}]  (* (2+3)/4 *)
2/7  

稍后我将发布元组生成器，显示它们是 7680 和一些关于操作可能结果分布的有趣结果(实际上对于 {1,2,3,4} 集，你只能得到 230不同的结果!)。

编辑:元组构造

首先，我们明确构建中间段的可能性

t1 = {{n3, n4, o1, o2}, 
      {n3, o1, n4, o2}, 
      {o1, n3, o2, n4}, 
      {o1, n3, n4, o2}, 
      {n3, o1, o2, n4}};

现在我们为 {n1,n2} 和最后一个运算符添加两个变体

t2 = Join[Map[Join[{n1, n2}, #, {o3}] &, t1], 
          Map[Join[{n2, n1}, #, {o3}] &, t1]] ( bahh ... don't mind the code*)

导致我们 10 种不同的配置



现在我们必须用数字和运算符的所有可能排列来填充所有这些配置。

我们首先构造所有数字排列作为我们元组的分配规则

 repListNumbers = (*construct all number permutations*)
    Table[{n1 -> #[[1]], n2 -> #[[2]], n3 -> #[[3]], n4 -> #[[4]]} &[i], 
         {i, Permutations[{1, 2, 3, 4}]}];

这些小野兽有形状

  {n1 -> 1, n2 -> 2, n3 -> 3, n4 -> 4}

我们可以使用它们来替换元组中的值。例如:

  {n1,n2,n3,o1,o2,n4,o3} /. {n1 -> 1, n2 -> 2, n3 -> 3, n4 -> 4}

结果在

  {1,2,3,o1,o2,4,o3}

当然，我们可能已经将替换规则构建为一个函数，以便能够随意更改设置的数字。
我们现在对运营商做类似的事情

repListOps =      (*Construct all possible 3 element tuples*)
  Table[{o1 -> #[[1]], o2 -> #[[2]], o3 -> #[[3]]} &[i], 
      {i, Tuples[{Plus, Times, Divide, Subtract}, 3]}];    

所以我们得到了一些东西的集合，比如

 {o1->Plus, o2->Plus, o3->Divide}

现在我们将元组和所有替换规则组合在一个大列表中:

t3 = Flatten[t2 /. repListNumbers /. repListOps, 2];

这导致 15360 种不同的计算。但是我们知道有一个因子被高估了两倍，所以现在我们删除重复的元素:

t3 =Union[t3]

这给了我们预期的 7680 个元素。

仍然存在一些过度计数，因为 {2,3,Times} = {3,2,Times} = 6，但这对于我们目前的目的来说是可以的。

评估结果

现在我们有了 RPN 评估器和所有这些元组，我们想知道某个最终结果是否可能。

我们只需要询问该数字是否包含在结果集中:

In[252]:= MemberQ[rpn /@ t3, 24]
Out[252]= True

In[253]:= MemberQ[rpn /@ t3, 38]
Out[253]= False

事实上，结果集的边界是:

In[254]:= Max[rpn /@ t3]
Out[254]= Max[36, ComplexInfinity]

In[255]:= Min[rpn /@ t3]
Out[255]= Min[-23, ComplexInfinity]

无穷大的结果是由于我不关心被零除的事实，所以它们就在那里，就在集合内。数值区间为 [-23,36]。

如果你想知道有多少个结果等于 24 就数一下

      In[259]:= Length@Select[t3, rpn[#] == 24 &]
      Out[259]= 484

当然，由于“Plus”和“Times”的交换特性，其中许多是微不足道的排列，但不是全部:

   {1, 2, Plus, 3, Plus, 4, Times}      -> ((1+2)+3)*4  = 24
   {2, 1, 4, 3, Times, Divide, Divide}  ->  2/(1/(4*3)) = 24

没有使用“减去”的序列给出 24!

    In[260]:= MemberQ[Flatten@Select[t3, rpn[#] == 24 &], Subtract]
    Out[260]= False

结果 频谱样本