algorithm - 循环图中最长路径问题的优化

Question

尝试在循环图中找到最长路径存在哪些优化？

已知循环图中的最长路径是 NP 完全路径。哪些优化或启发式方法可以比对整个图进行 DFS 更快地找到最长路径？是否有任何概率方法？

我有一个具有特定特性的图表，但我正在寻找一般情况下的答案。链接到论文会很棒。这是部分答案:

1. 确认它是循环的。非循环图中的最长路径很容易使用动态规划计算。

2. 找出图形是否是平面的(哪种算法最好？)。如果是，您可能会查看它是 block 图、托勒密图还是仙人掌图，并应用 this paper 中的方法.

3. 使用 Donald B Johnson's algorithm 找出有多少个简单循环(Java implementation)。您可以通过删除简单循环中的一条边，将任何有环图变成无环图。然后您可以运行在 the Wikipedia page 上找到的动态规划解决方案.为了完整起见，您必须为每个循环执行 N 次，其中 N 是循环的长度。因此，对于整个图，您必须运行 DP 解决方案的次数等于所有循环长度的乘积。

4. 如果您必须对整个图进行 DFS，您可以通过提前计算每个节点的“可达性”来修剪一些路径。这个reachability，主要适用于有向图，是每个节点在不重复的情况下可以到达的节点数。它是从该节点可能的最长路径的最大值。有了这些信息，如果您当前的路径加上子节点的可达性小于您已经找到的最长路径，那么采用该分支就没有意义，因为您不可能找到更长的路径。

Answer 1

这是一个复杂度为 O(n*2^n) 的动态规划方法，对于最多 20 个顶点应该是可行的:

m(b, U) = 以 b 结尾的任何路径的最大长度并且只访问 U 中的(部分)顶点.

最初，设置m(b, {b}) = 0 .

然后，m(b, U) = m(x, U - x) + d(x, b) 的最大值总而言之x在U这样 x不是 b和一条边(x, b)存在。为所有端点取这些值中的最大值 b , 与 U = V (完整的顶点集)。这将是任何路径的最大长度。

以下 C 代码假定距离矩阵在 d[N][N] 中.如果您的图表未加权，您可以将对此数组的每次读取访问更改为常量 1 .在数组 p[N][NBITS] 中还计算了显示最佳顶点序列(可能不止一个)的回溯。 .

#define N 20
#define NBITS (1 << N)

int d[N][N];       /* Assumed to be populated earlier.  -1 means "no edge". */
int m[N][NBITS];   /* DP matrix.  -2 means "unknown". */
int p[N][NBITS];   /* DP predecessor traceback matrix. */

/* Maximum distance for a path ending at vertex b, visiting only
   vertices in visited. */
int subsolve(int b, unsigned visited) {
    if (visited == (1 << b)) {
        /* A single vertex */
        p[b][visited] = -1;
        return 0;
    }

    if (m[b][visited] == -2) {
        /* Haven't solved this subproblem yet */
        int best = -1, bestPred = -1;
        unsigned i;
        for (i = 0; i < N; ++i) {
            if (i != b && ((visited >> i) & 1) && d[i][b] != -1) {
                int x = subsolve(i, visited & ~(1 << b));
                if (x != -1) {
                    x += d[i][b];
                    if (x > best) {
                        best = x;
                        bestPred = i;
                    }
                }
            }
        }

        m[b][visited] = best;
        p[b][visited] = bestPred;
    }

    return m[b][visited];
}

/* Maximum path length for d[][].
   n must be <= N.
   *last will contain the last vertex in the path; use p[][] to trace back. */
int solve(int n, int *last) {
    int b, i;
    int best = -1;

    /* Need to blank the DP and predecessor matrices */
    for (b = 0; b < N; ++b) {
        for (i = 0; i < NBITS; ++i) {
            m[b][i] = -2;
            p[b][i] = -2;
        }
    }

    for (b = 0; b < n; ++b) {
        int x = subsolve(b, (1 << n) - 1);
        if (x > best) {
            best = x;
            *last = b;
        }
    }

    return best;
}

在我的 PC 上，这解决了一个 20x20 的完整图，边权重在 [0, 1000) 范围内随机选择，大约需要 7 秒，需要大约 160Mb(其中一半用于前导轨迹)。

(请不要评论使用固定大小的数组。在实际程序中使用 malloc()(或更好，C++ vector<int>)。我只是这样写的，这样事情会更清楚。)