algorithm - 有向图广度优先搜索期间的边分类

Question

在有向图上进行广度优先搜索时，我很难找到正确分类边的方法。

在广度优先或深度优先搜索中，您可以将符合 4 类的边分类:

• 树
• 返回
• 交叉
• 转发

Skiena [1] 给出了一个实现。如果你沿着一条边从v1移动到v2，这里有一个在java中DFS期间返回类的方法，供引用。 parents 映射返回当前搜索的父顶点，timeOf() 方法返回顶点被发现的时间。

if ( v1.equals( parents.get( v2 ) ) ) { return EdgeClass.TREE; }
    if ( discovered.contains( v2 ) && !processed.contains( v2 ) ) { return EdgeClass.BACK; }
    if ( processed.contains( v2 ) )
    {
        if ( timeOf( v1 ) < timeOf( v2 ) )
        {
            return EdgeClass.FORWARD;
        }
        else
        {
            return EdgeClass.CROSS;
        }
    }
    return EdgeClass.UNCLASSIFIED;

我的问题是我无法正确地对有向图进行广度优先搜索。例如:

下图 - 这是一个循环 - 没问题:

A -> B
A -> C
B -> C

BFSing从A开始，B会被发现，然后C。边eAB和eAC是TREE边，当最后交叉eBC时，B和C被处理和发现，这条边被正确地归类为CROSS。

但是普通循环不起作用:

A -> B
B -> C
C -> A

当边缘 eCA 最后被越过时，A 被处理并被发现。所以这条边被错误地标记为CROSS，是否应该是BACK边。

这两种情况的处理方式确实没有区别，即使两条边的类别不同。

如何在有向图上为 BFS 实现正确的边分类？

[1] http://www.algorist.com/

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编辑

这里是从@redtuna 答案派生的实现。 我刚刚添加了一个检查以不获取根的父级。 我有 JUnits 测试表明它适用于有向图和无向图，在循环、直线、 fork 、标准示例、单边等的情况下......

@Override
public EdgeClass edgeClass( final V from, final V to )
{
    if ( !discovered.contains( to ) ) { return EdgeClass.TREE; }

    int toDepth = depths.get( to );
    int fromDepth = depths.get( from );

    V b = to;
    while ( toDepth > 0 && fromDepth < toDepth )
    {
        b = parents.get( b );
        toDepth = depths.get( b );
    }

    V a = from;
    while ( fromDepth > 0 && toDepth < fromDepth )
    {
        a = parents.get( a );
        fromDepth = depths.get( a );
    }

    if ( a.equals( b ) )
    {
        return EdgeClass.BACK;
    }
    else
    {
        return EdgeClass.CROSS;
    }

}

Answer 1

How do you implement a proper edge classification for a BFS on a directed graph?

正如您已经建立的那样，第一次看到一个节点会创建一个树边。正如 David Eisenstat 在我之前所说的那样，BFS 而不是 DFS 的问题在于，无法仅根据遍历顺序将后边与交叉边区分开来。

相反，您需要做一些额外的工作来区分它们。正如您将看到的，关键是使用交叉边的定义。

最简单(但内存密集型)的方法是将每个节点与其前任集合相关联。当您访问节点时，这可以轻松完成。当找到节点 a 和 b 之间的非树边时，考虑它们的前导集。如果一个是另一个的真子集，那么你就有了后边。否则，它就是交叉边。这直接来自交叉边的定义:它是节点之间的边，树上既不是对方的祖先也不是对方的后代。

更好的方法是只将“深度”数字与每个节点而不是集合相关联。同样，这在您访问节点时很容易完成。现在，当您在 a 和 b 之间找到非树边时，从两个节点中较深的节点开始，然后沿着树边向后移动，直到回到与另一个节点相同的深度。因此，例如假设 a 更深。然后你重复计算 a=parent(a) 直到 depth(a)=depth(b)。

如果此时 a=b 那么您可以将该边分类为后边，因为根据定义，其中一个节点是树上另一个节点的祖先。否则，您可以将其归类为交叉边，因为我们知道这两个节点都不是另一个节点的祖先或后代。

伪代码:

  foreach edge(a,b) in BFS order:
    if !b.known then:
      b.known = true
      b.depth = a.depth+1
      edge type is TREE
      continue to next edge
    while (b.depth > a.depth): b=parent(b)
    while (a.depth > b.depth): a=parent(a)
    if a==b then:
      edge type is BACK
    else:
      edge type is CROSS