algorithm - 三角形中的样本随机点

Question

<分区>

Answer 1

您有一个从单位正方形到三角形的映射 P(r1,r2)。统一选择 r1 和 r2 给出单位正方形中的一个随机点。三角形中的图像根据映射 P 的雅可比行列式分布，结果证明它是一个常数。因此图像分布也是均匀的。

实际上，要验证这一点，您只需检查一个三元组的非共线点 A、B、C。仿射线性映射具有常量雅可比矩阵，因此您可以应用其中之一将任意三元组移动到此标准位置，而不会影响分布。

最后，关于“为什么”的一句话:考虑由平行于 BC 边的线段填充的三角形。在 P 的公式中，变量 r1 选择点位于哪条线段上，而 r2 确定点位于线段的哪个位置。为了统一，给定段上的所有点都应该被平等对待(因此在 r2 中是线性的)。但是对于 r1，由于某些段比其他段短，我们需要支持长段以获得均匀分布。公式中的 sqrt(r1) 说明了这一点。