我有一个关于如何将“递归”转换为“尾递归”的问题。
这不是作业,只是我试图从一本算法书上润色递归定理时突然出现的一个问题。
熟悉使用递归的2个典型例子(阶乘和斐波那契数列),也知道如何用递归方式和尾递归方式实现它们。
我的代码如下(我使用 Perl 只是为了简单,但可以很容易地转换为 C/Java/C++)。
# This is the recursive function
sub recP {
my ($n) = @_;
if ($n == 0 or $n == 1 or $n == 2) {
return 1;
} else {
return (recP($n-3) * recP($n-1)) + 1;
}
}
for my $k (1 .. 10) {
print "recP($k) = ", recP($k), "\n";
}
运行代码时,输出如下:
recP(1) = 1
recP(2) = 1
recP(3) = 2
recP(4) = 3
recP(5) = 4
recP(6) = 9
recP(7) = 28
recP(8) = 113
recP(9) = 1018
递归函数在返回前用不同的参数调用自身两次。 我尝试了几种方法将其转换为尾递归函数,但结果都错了。
任何人都可以看一下代码并告诉我使其成为尾递归的正确方法吗?特别是我相信这个树递归有一个转换例程(在返回之前多次调用递归函数),任何人都可以对此有所了解吗?这样我以后就可以用同样的逻辑来处理不同的问题了。
最佳答案
虽然你经常看到下面是将阶乘转换为尾调用的例子:
int factorial(int n, int acc=1) {
if (n <= 1) return acc;
else return factorial(n-1, n*acc);
}
这不是很正确,因为它要求乘法同时具有结合性和交换性。 (乘法 是 结合和交换的,但上述不作为不满足这些约束的其他操作的模型。)更好的解决方案可能是:
int factorial(int n, int k=1, int acc=1) {
if (n == 0) return acc;
else return factorial(n-1, k+1, acc*k);
}
这也可以作为斐波那契变换的模型:
int fibonacci(int n, int a=1, int b=0) {
if (n == 0) return a;
else return fibonacci(n-1, a+b, a);
}
请注意,这些计算序列从头开始,而不是在调用堆栈中排队挂起的延续。所以它们在结构上更像是迭代解决方案而不是递归解决方案。但是,与迭代程序不同的是,它们从不修改任何变量;所有绑定(bind)都是不变的。这是一个有趣且有用的属性;在这些简单的情况下,它没有太大区别,但编写没有重新分配的代码会使一些编译器优化更容易。
无论如何,最后一个确实为你的递归函数提供了一个模型;就像斐波那契数列一样,我们需要保留相关的过去值,但我们需要三个而不是两个:
int mouse(int n, int a=1, int b=1, int c=1) {
if (n <=2 ) return a;
else return mouse(n-1, a*c+1, a, b);
}
附录
在评论中,提出了两个问题。我会尝试在这里回答他们(以及更多)。
首先,应该清楚(从没有函数调用概念的底层机器架构的考虑)任何函数调用都可以改写为 goto(可能具有无界中间存储);此外,任何 goto 都可以表示为尾调用。因此可以(但不一定很好)将任何递归重写为尾递归。
通常的机制是“continuation-passing style”,这是一种奇特的说法,每次你想调用一个函数时,你都将当前函数的其余部分打包为一个新函数(“continuation”),并将该延续传递给被调用函数。由于每个函数随后都接收一个延续作为参数,因此它必须通过调用它接收到的延续来完成它创建的任何延续。
这可能足以让你头晕目眩,所以我会换一种说法:不是将参数和返回位置压入堆栈并调用函数(稍后返回),而是压入参数和继续位置进入堆栈并转到一个函数,该函数稍后将转到继续位置。简而言之,您只需将堆栈作为一个显式参数,然后就永远不需要返回。这种编程风格在事件驱动代码中很常见(请参阅 Python Twisted),而且编写(和阅读)起来真的很痛苦。所以我强烈建议让编译器为你做这个转换,如果你能找到一个可以做到的。
@xxmouse 建议我把递归方程从帽子里拿出来,问它是怎么推导出来的。它只是原始的递归,但重新表述为单个元组的转换:
f<sub>n</sub> = f<sub>n-1</sub>*f<sub>n-3</sub> + 1<br/>
=><br/>
F<sup>n</sup> = <F<sup>n-1</sup><sub>1</sub>*F<sup>n-1</sup><sub>3</sub>+1, F<sup>n-1</sup><sub>1</sub>, F<sup>n-1</sup><sub>2</sub>>
我不知道这是否更清楚,但这是我能做的最好的。查看斐波那契示例,了解一个稍微简单的案例。
@j_random_hacker 询问此转换的限制是什么。它适用于递归序列,其中每个元素都可以用前一个 k
的某个公式表示。元素,其中 k
是一个常数。还有其他方法可以产生尾调用递归。例如:
// For didactic purposes only
bool is_odd(int n) { return n%2 == 1; }
int power(int x, int n, int acc=1) {
if (n == 0) return acc;
else if (is_odd(n)) return power(x, n-1, acc*x);
else return power(x*x, n/2, acc);
}
上面的代码与通常的非尾调用递归不同,它执行不同的(但等效且同样长)的乘法序列。
int squared(n) { return n * n; }
int power(int x, int n) {
if (n == 0) return 1;
else if (is_odd(n)) return x * power(x, n-1));
else return squared(power(x, n/2));
}
感谢 Alexey Frunze 进行以下测试: 输出(ideone):
mouse(0) = 1
mouse(1) = 1
mouse(2) = 1
mouse(3) = 2
mouse(4) = 3
mouse(5) = 4
mouse(6) = 9
mouse(7) = 28
mouse(8) = 113
mouse(9) = 1018
关于algorithm - 将递归转换为尾递归,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/15537432/