我正在解决这个问题:
The Subset Sum problem takes as input a set
X = {x1, x2 ,…, xn}
ofn
integers and another integerK
. The problem is to check if there exists a subsetX'
ofX
whose elements sum toK
and finds the subset if there's any. For example, ifX = {5, 3, 11, 8, 2}
andK = 16
then the answer isYES
since the subsetX' = {5, 11}
has a sum of16
. Implement an algorithm for Subset Sum whose run time is at leastO(nK)
.
通知复杂性
O(nK)
.我认为动态规划可能会有所帮助。我找到了一个指数时间算法,但它没有帮助。
有人可以帮我解决这个问题吗?
最佳答案
Subset Sum 是我在 Macalester 学到的第一个 NP 完全问题。这个问题被查看了 36000 多次,但我没有看到足够的答案来详细解释算法的逻辑。所以我想我会尝试这样做。
假设:
为了简单起见,我首先假设输入集 X
仅包含正整数和 k
是积极的。但是,我们可以调整算法来处理负整数和 if k
的情况。是否定的。
逻辑:
这个算法的关键还是真的任何 DP 问题都是分解问题并简单地从基本案例开始。 然后我们可以使用我们知道的一些知识建立在基本案例的基础上:
X
为空,那么我们无法求和为 k
的任何值. X
包含 k
那么它有一个子集和到 k
. x1
的一个子集谁是X
的子集总和到 k1
然后 X
将有一个总和为 k1
的子集即 x1
. X = {x1, x1, x3, ......., xn, xn+1}
.我们知道它有一个子集和到 k1
如果 x1 = {x1, x1, x3, ......., xn}
有一个子集和到 k - k1
. 举例说明 1,2,3,4:
你不能有任何子集总和。
X = {4}
有一个子集和为 4,因为 4 它本身是集合的一部分 x1 = {1,3,5}
谁是集合的子集X = {1,3,5,2,8}
.如果 x1
有一个子集和到 k1 = 8
那么这意味着 X
也有一个子集和为 8 因为 x1
是 X
的子集X = {1,3,5,2,19}
我们想知道它的子集总和是否为 20。它确实是一种方法,可以知道它是否是 x1 = {1,3,5,2}
可以总和为 (20 - 19) = 1。由于 x1 的子集总和为 1,那么当我们将 19 添加到集合 x1 时我们可以用这个新数字 1 + 19 = 20 来创建我们想要的总和 20。
动态构建矩阵
凉爽的!现在让我们利用上述四种逻辑并从基本案例开始构建。我们将构建一个矩阵
m
.我们定义:m
有 i+1
行和 k + 1
列。 true
或 false
. i
项,我们能否找到 s
的子集和?” m[i][s]
返回 true
对于是和 false
对于没有 (注意维基百科的答案或大多数人构建了一个函数 m(i,s) 但我认为矩阵是一种理解动态规划的简单方法。当我们在集合或数组中只有正数时它工作得很好。但是函数路由更好,因为您不必处理超出范围的索引,匹配数组的索引并求和到矩阵.....)
让我们使用一个例子来构建矩阵:
X = {1,3,5,2,8}
k = 9
我们将逐行构建矩阵。我们最终想知道单元格 m[n][k] 包含
true
或 false
.第一行:
逻辑1.告诉我们矩阵的第一行应该都是
false
. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
0| F F F F F F F F F F
1|
2|
3|
4|
5|
第二排及以上:
然后对于第二行或以上,我们可以使用逻辑 2,3,4 来帮助我们填充矩阵。
m[i][s] = (X[i-1] == s)
记住 m[i] 指的是 X 中的第 i 个项目,即 X[i-1] m[i][s] = (m[i-1][s])
这是看上面的单元格方向。 m[i][s] = (m[i-1][s - X[i-1]])
这是查看 X[i-1] 单元格上方和左侧的行。 如果其中任何一个是
true
然后 m[i][s]
是 true
否则 false
.所以我们可以将 2,3,4 改写成 m[i][s] = (m[i-1][s] || a[i-1] == s || m[i-1][s - a[i-1]])
使用上述这些逻辑来填充矩阵
m
.在我们的示例中,它看起来像这样。 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
0| F F F F F F F F F F
1| F T F F F F F F F F
2| F T F T T F F F F F
3| F T F T T T T F T T
4| F T T T T T T T T T
5| F T T T T T T T T T
现在使用矩阵来回答您的问题:
看
m[5][9]
这是原始问题。使用前 5 个项目(即所有项目)我们可以找到一个子集总和为 9 (k) 吗?答案由 true
的单元格表示这是代码:
import java.util.*;
public class SubSetSum {
public static boolean subSetSum(int[] a, int k){
if(a == null){
return false;
}
//n items in the list
int n = a.length;
//create matrix m
boolean[][] m = new boolean[n + 1][k + 1]; //n + 1 to include 0, k + 1 to include 0
//set first row of matrix to false. This also prevent array index out of bounds: -1
for(int s = 0; s <= k; s++){
m[0][s] = false;
}
//populate matrix m
for(int i = 1; i <= n; i++){
for(int s = 0; s <= k; s++){
if(s - a[i-1] >= 0){ //when it goes left we don't want it to go out of bounds. (logic 4)
m[i][s] = (m[i-1][s] || a[i-1] == s || m[i-1][s - a[i-1]]);
} else {
m[i][s] = (m[i-1][s] || a[i-1] == s);
}
}
}
//print matrix
print(m);
return m[n][k];
}
private static void print(boolean[][] m){
for(int i = 0; i < m.length; i++){
for(int j = 0; j < m[i].length; j++){
if(m[i][j]){
System.out.print("T");
} else {
System.out.print("F");
}
}
System.out.print("\n");
}
}
public static void main(String[] args){
int[] array = {1,3,5,2,8};
int k = 9;
System.out.println(subSetSum(array,k));
}
}
构建矩阵
m
取 O((n+1)(k+1)) 即 O(nk)。看起来它应该是多项式的,但它不是!它实际上是伪多项式。阅读它 here同样,这仅在输入仅包含正数时才有效。您可以轻松调整它以使用负数。矩阵仍然有 n+1 行,但
B - A + 1
列。哪里B
是上限和 A
是下限(+1 包括零)。矩阵仍然是你必须偏移 s
与下限。从头到尾解释文本上的 DP 问题非常困难。但我希望这能帮助那些试图理解这个问题的人。
请注意,在上面的示例中,DP 表的行已排序。不一定是这样。
这是问题案例的 DP 表,即给定一组 {5, 3, 11, 8, 2}。为简洁起见,我省略了错误值。
┌─────────┬──────┬──────┬──────┬──────┬──────┬──────┬──────┬──────┬──────┬──────┬──────┬──────┐
│ (index) │ 0 │ 2 │ 3 │ 5 │ 7 │ 8 │ 10 │ 11 │ 13 │ 14 │ 15 │ 16 │
├─────────┼──────┼──────┼──────┼──────┼──────┼──────┼──────┼──────┼──────┼──────┼──────┼──────┤
│ 0 │ true │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 5 │ true │ │ │ true │ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 3 │ true │ │ true │ true │ │ true │ │ │ │ │ │ │
│ 11 │ true │ │ true │ true │ │ true │ │ true │ │ true │ │ true │
│ 8 │ true │ │ true │ true │ │ true │ │ true │ true │ true │ │ true │
│ 2 │ true │ true │ true │ true │ true │ true │ true │ true │ true │ true │ true │ true │
└─────────┴──────┴──────┴──────┴──────┴──────┴──────┴──────┴──────┴──────┴──────┴──────┴──────┘
下面是一个 JavaScript 实现,它将输出目标集 {5, 11}:
var subSetSum = function(input, sum) {
let y = input.length;
let x = sum;
if(input.length === 0) return 0;
let d = [];
//fill the rows
for (let i = 0; i <= y; i++) {
d[i] = [];
d[i][0] = true;
}
for (let j = 1; j <= y; j++) { //j row
for (let i = 1; i <= x; i++) { //i column
let num = input[j-1];
if(num === i) {
d[j][i] = true;
} else if(d[j-1][i]) {
d[j][i] = true;
} else if (d[j-1][i-num]) {
d[j][i] = true;
}
}
}
//console.table(d); //uncomment to see the table
if(!d[y][x]) return null;
let searchedSet = [];
for(let j=input.length, i=sum; j>0 && i != 0; j--) {
if(input[j-1] !== i) {
while(d[j-1][i]) { // go up
j--;
}
}
searchedSet.push(input[j-1]);
i = i-input[j-1];
}
return searchedSet;
};
console.log('searched set:'+ JSON.stringify(subSetSum([5, 3, 11, 8, 2], 16)));
关于algorithm - 子集求和算法,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/4355955/