c++ - 如何找到从给定容器中抽出球的概率？

Question

一个容器有 2 个球，一个是红色的，第二个是黑色的。 每次抽取一个球并再次放入容器中。球的抽取完成n时代 1<=n<=10^6 .我想找出至少抽到红球的概率r哪里0<=r<=n .例如，让 n=3和r=2那么概率p可以计算为:

p=( C(3,2)+C(3,3) ) / (2^3)
p=(3+1)/8
p=0.5

哪里C(n,r) = n!/(n-r)!r! 。 也可以使用二项式分布来求解。 但是，对于给定的 n 很难计算和r .

Answer 1

您可以尝试使用对数，即代替

 P(r, n) = n! / ((n-r)! * r! * r**n)

仅计算

 log(P(r, r)) = log(n!) - log((n-r)!) - log(r!) - r*log(n)

所有阶乘都可以轻松计算为对数:

 log(n!) = log(n) + log(n - 1) + ... + log(2) + log(1)

当获得log(P(r, n))时，您所要做的就是求幂。作为进一步的改进，您可以使用 Stirling's approximation对于 n 较大情况下的阶乘:

 n! ~ (n / e)**n * sqrt(2 * PI * n)

so(ln代表自然对数)

 ln(n!) ~ n * ln(n) - n - ln(n)/2 - ln(2 * PI)/2  

编辑:如果您正在寻找CDF(累积分布函数，随机值小于或等于给定x的概率)，它可以表示为正则化不完全 beta 函数:

https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution

P(x <= k) = I(1 - p, n - r, r+1)
p = 1/2 in your case

如果是 C++，可以在 Boost 中找到实现。