我想找到 [1,107] 范围内的所有数字除数。我知道它可以在 O(sqrt(n)) 中解决。但是在此之前必须运行 Eratosthenes 筛法,可以很容易地对其进行修改以获得数字的质因数分解(通过跟踪每个数字的质因数之一)。所以我想知道使用素因数分解生成所有因子会更有效吗?
令 n = p1k1 * p2k2 *....*pmkm
我认为这个记法经过筛选后可以在O(m+Σki)中得到。
经过一番思考,我想出了以下代码来生成因子:
int factors[]={2,5}; // array containing all the factors
int exponents[]={2,2}; // array containing all the exponents of factors
// exponents[i] = exponent of factors[i]
vector <int> ans; // vector to hold all possible factors
/*
* stores all possible factors in vector 'ans'
* using factors and exponents from index l to r(both inclusive)
*/
void gen(int factors[],int exponents[],vector<int>& ans,int l,int r)
{
if(l==r)
{
int temp = 1;
for(int i=0;i<=exponents[l];i++)
{
ans.push_back(temp);
temp *= factors[l];
}
return;
}
gen(factors,exponents,ans,l+1,r);
int temp=factors[l];
int size = ans.size();
for(int i=1;i<=exponents[l];i++)
{
for(int j=0;j<size;j++)
{
ans.push_back(ans[j]*temp);
}
temp *= factors[l];
}
}
我认为它的时间复杂度至少是 Ω(no of factors) = Ω(∠(1+ki)).
所以我的问题是:
1) 以这种方式生成因子是否比通常(O(sqrt(n)) 循环方法)更快?
2)上面给出的代码可以优化吗?
最佳答案
第一个最明显的优化是预分配答案 vector 。您确切知道将有多少个因数(因为您已经将公式指定为 ‖(1+ki) )。
如果您自己管理堆栈而不是使用递归,您将获得最佳解决方案(每个因素只需要 1 次查找和 1 次乘法)。
是这样的吗?
int factors_count = 1;
for (int i = 0; i < r; ++i)
{
factors_count *= 1+exponents[i];
}
ans.resize(factors_count);
ans[0] = 1;
int count = 1;
for (int stack_level = 0; stack_level < r; ++stack_level)
{
const int count_so_far = count;
const int prime = factors[stack_level];
const int exponent = exponents[stack_level];
int multiplier = 1;
for (int j = 0; j < exponent; ++j)
{
multiplier *= prime;
for (int i = 0; i < count_so_far; ++i)
{
ans[count++] = ans[i] * multiplier;
}
}
}
我什至没有尝试编译它,所以买者自负。
关于c++ - 生成一个数的所有因数分解,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/33594064/