c# - 查找具有相同内部表示的 float / double 的最小值/最大值

Question

刷新 floating points (也是 PDF )，IEEE-754 并参与 in this discussion on floating point rounding when converting to strings ，让我想到了修补程序:如何获得二进制表示形式相等的给定 float 的最大值和最小值。

免责声明:对于本次讨论，我喜欢坚持使用 IEEE-754 描述的 32 位和 64 位 float 。我对扩展浮点(80 位)或四边形(128 位 IEEE-754-2008)或任何其他标准 (IEEE-854) 不感兴趣。

背景:计算机不擅长用二进制表示法来表示 0.1。在 C# 中， float 在内部表示为 3DCCCCCD(C# 使用最近舍入法)，double 表示为 3FB999999999999A。相同的位模式用于十进制 0.100000005(浮点型)和 0.1000000000000000124( double )，但不是 0.1000000000000000144( double )。

为方便起见，以下 C# 代码给出了这些内部表示:

string GetHex(float f)
{
    return BitConverter.ToUInt32(BitConverter.GetBytes(f), 0).ToString("X");
}

string GetHex(double d)
{
    return BitConverter.ToUInt64(BitConverter.GetBytes(d), 0).ToString("X");
}

// float
Console.WriteLine(GetHex(0.1F));

// double 
Console.WriteLine(GetHex(0.1));

在 0.1 的情况下，没有用相同位模式表示的低位十进制数，任何 0.99...99 都会产生不同的位表示(即，0.999999937 的 float 在内部产生 3F7FFFFF)。

我的问题很简单:如何找到内部存储在相同二进制表示中的给定 float (或 double )的最低和最高十进制值。

为什么:(我知道你会问)在 .NET 转换为字符串和从字符串转换时查找舍入错误，查找内部精确值和更好地了解我自己的舍入误差。

我的猜测是这样的:取出尾数，去掉其余部分，得到它的精确值，高出一位(尾数位)，然后计算平均值:低于它的任何值都会产生相同的位模式。我的主要问题是:如何将小数部分作为整数(位操作不是我最强的 Assets )。 Jon Skeet's DoubleConverter类(class)可能会有帮助。

Answer 1

解决您的问题的一种方法是找到 ULP 或 Last 中的 Unit 的大小地方，你的 float 。稍微简化一下，这是给定 float 与下一个更大数之间的距离。同样，稍微简化一下，给定一个可表示的浮点值 x，任何值介于 (x - 1/2 ulp) 和 (x + 1/2 ulp) 之间的十进制字符串在转换为 float 时都将四舍五入为 x -点值。

诀窍在于 (x +/- 1/2 ulp) 不是可表示的 float ，因此实际计算其值需要使用更宽的浮点类型(如果可用)或任意width big decimal 或类似的类型来进行计算。

如何找到 ulp 的大小？一种相对简单的方法大致是你的建议，这里写的是 C-ish 伪代码，因为我不知道 C#:

float absX = absoluteValue(x);
uint32_t bitPattern = getRepresentationOfFloat(absx);
bitPattern++;
float nextFloatNumber = getFloatFromRepresentation(bitPattern);
float ulpOfX = (nextFloatNumber - absX);

这是可行的，因为将 1 加到 x 的位模式恰好对应于将 1 ulp 加到 x 的值。减法时不会出现浮点舍入，因为所涉及的值非常接近(特别是ieee-754浮点运算有一个定理，如果两个数字x和y满足y/2 <= x <= 2y，然后 x - y 被精确计算)。这里唯一的警告是:

1. 如果 x 恰好是最大的有限 float ，这将不起作用(它将返回 inf，这显然是错误的)。
2. 如果您的平台不能正确支持渐进下溢(比如以清零模式运行的嵌入式设备)，这将不适用于非常小的 x 值。

听起来您不太可能处于这两种情况中的任何一种，因此这应该可以很好地满足您的目的。

现在您知道 x 的 ulp 是什么，您可以找到舍入到 x 的值的区间。您可以精确地以 float 计算 ulp(x)/2，因为 float 除以 2 是精确的(同样，除非下溢)。然后你只需要计算 x +/- ulp(x)/2 合适的更大浮点类型的值(如果你对 float 感兴趣，double 就可以)或大十进制类型，你有你的间隔。

我通过这个解释做了一些简化的假设。如果您需要真正准确地阐明这一点，请发表评论，我会在有机会时扩展那些有点模糊的部分。

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另请注意您问题中的以下陈述:

In the case of 0.1, there is no lower decimal number that is represented with the same bit pattern

不正确。您只是碰巧看到了错误的值(0.999999... 而不是 0.099999... - 很容易打错字)。