c# - Bézier 曲线、Loop 和 Blinn 样式

Question

几天前，我开始研究如何有效地绘制贝塞尔曲线，我偶然发现了一种由 Charles Loop 和 Jim Blinn 开发的方法，它看起来非常有趣。然而，在对他们的算法进行了大量试验之后，我似乎无法让它能够渲染三次曲线。二次方程很好，没问题。

到目前为止我找到的唯一资源如下:

GPU Gems 3 Chapter 25

Curvy Blues

Resolution Independent Curve Rendering using Programmable Graphics Hardware

为了快速启动和运行测试，我在 XNA 中执行此操作。基本上我将纹理坐标与我的顶点传递给 GPU，应用透视变换并使用像素着色器中所有文章中提到的公式来渲染最终结果。然而，问题(我认为)在于我如何计算纹理坐标。检查此代码:

public void Update()
{
    float a1 = Vector3.Dot(p1, Vector3.Cross(p4, p3));
    float a2 = Vector3.Dot(p2, Vector3.Cross(p1, p4));
    float a3 = Vector3.Dot(p3, Vector3.Cross(p2, p2));

    float d1 = a1 - 2 * a2 + 3 * a3;
    float d2 = -a2 + 3 * a3;
    float d3 = 3 * a3;

    float discr = d1 * d1 * (3 * d2 * d2 - 4 * d1 * d3);

    if (discr > 0)
    {
        Type = CurveTypes.Serpentine;

        float ls = 3 * d2 - (float)Math.Sqrt(9 * d2 * d2 - 12 * d1 * d3);
        float lt = 6 * d1;
        float ms = 3 * d2 + (float)Math.Sqrt(9 * d2 * d2 - 12 * d1 * d3);
        float mt = 6 * d1;

        TexCoord1 = new Vector3(ls * ms, (float)Math.Pow(ls, 3), (float)Math.Pow(ms, 3));
        TexCoord2 = new Vector3((3 * ls * ms - ls * mt - lt * ms) / 3, ls * ls * (ls - lt), ms * ms * (ms - mt));
        TexCoord3 = new Vector3((lt * (mt - 2 * ms) + ls * (3 * ms - 2 * mt)) / 3, (float)Math.Pow(lt - ls, 2) * ls, (float)Math.Pow(mt - ms, 2) * ms);
        TexCoord4 = new Vector3((lt - ls) * (mt - ms), -(float)Math.Pow(lt - ls, 3), -(float)Math.Pow(mt - ms, 3));
    }
    else if (discr == 0)
    {
        Type = CurveTypes.Cusp;
    }
    else if (discr < 0)
    {
        Type = CurveTypes.Loop;
    }
}

对不起，这只是一些测试代码。 p1...p4 是世界空间中的控制点，TexCoord1...TexCoord4 是对应的纹理坐标。这是 GPU Gems 文章中所说内容的复制。

这里有几个问题，首先在计算 a3 时，我们使用 p2 作为两个参数，这当然总是得到一个 (0,0,0) 向量，并且将它与 p3 的点积总是得到我们 0。这不是很没用，所以他们为什么要在文章中提到它？

这当然会使 discr 不正确，我们甚至无法确定它是什么类型的曲线。

在摆弄该代码一段时间后，我决定尝试完全按照他们在 Loop 和 Blinn 论文中所做的那样去做。从那我得到这样的东西:

public void Update()
{
    Matrix m1 = new Matrix(
        p4.X, p4.Y, 1, 0,
        p3.X, p3.Y, 1, 0,
        p2.X, p2.Y, 1, 0,
        0, 0, 0, 1);
    Matrix m2 = new Matrix(
        p4.X, p4.Y, 1, 0,
        p3.X, p3.Y, 1, 0,
        p1.X, p1.Y, 1, 0,
        0, 0, 0, 1);
    Matrix m3 = new Matrix(
        p4.X, p4.Y, 1, 0,
        p2.X, p2.Y, 1, 0,
        p1.X, p1.Y, 1, 0,
        0, 0, 0, 1);
    Matrix m4 = new Matrix(
        p3.X, p3.Y, 1, 0,
        p2.X, p2.Y, 1, 0,
        p1.X, p1.Y, 1, 0,
        0, 0, 0, 1);

    float det1 = m1.Determinant();
    float det2 = -m2.Determinant();
    float det3 = m3.Determinant();
    float det4 = -m4.Determinant();

    float tet1 = det1 * det3 - det2 * det2;
    float tet2 = det2 * det3 - det1 * det4;
    float tet3 = det2 * det4 - det3 * det3;

    float discr = 4 * tet1 * tet3 - tet2 * tet2;

    if (discr > 0)
    {
        Type = CurveTypes.Serpentine;

        float ls = 2 * det2;
        float lt = det3 + (float)((1 / Math.Sqrt(3)) * Math.Sqrt(3 * det3 * det3 - 4 * det2 * det4));
        float ms = 2 * det2;
        float mt = det3 - (float)((1 / Math.Sqrt(3)) * Math.Sqrt(3 * det3 * det3 - 4 * det2 * det4));

        TexCoord1 = new Vector3(lt * mt, (float)Math.Pow(lt, 3), (float)Math.Pow(mt, 3));
        TexCoord2 = new Vector3(-ms * lt - ls * mt, -3 * ls * lt * lt, -3 * ms * mt * mt);
        TexCoord3 = new Vector3(ls * ms, 3 * ls * ls * lt, 3 * ms * ms * mt);
        TexCoord4 = new Vector3(0, -ls * ls * ls, -ms * ms * ms);
    }
    else if (discr == 0)
    {
        Type = CurveTypes.Cusp;
    }
    else if (discr < 0)
    {
        Type = CurveTypes.Loop;
    }
}

你猜怎么着，那也没用。然而，discr 现在似乎至少更正确了一点。至少它有正确的符号，当控制点排列成一个尖点时它是零。尽管如此，我仍然得到相同的视觉结果，除了曲线随机消失一段时间(像素着色器公式总是大于零)并在我将控制点移回更接近方形后返回。顺便说一句，这是像素着色器代码:

 PixelToFrame PixelShader(VertexToPixel PSIn)
 {
     PixelToFrame Output = (PixelToFrame)0;

     if(pow(PSIn.TexCoords.x, 3) - PSIn.TexCoords.y * PSIn.TexCoords.z > 0)
     {
     Output.Color = float4(0,0,0,0.1);
     }
     else
     {
     Output.Color = float4(0,1,0,1);
     }

    return Output;
}

这就是我目前能想到的所有有用信息。有谁知道发生了什么事？因为我快用完了。

Answer 1

我查看了论文和您的代码，发现您似乎遗漏了 M3 矩阵的乘法。

您的 p1、p2、p3 和 p4 坐标应放在矩阵中并乘以 M3 矩阵，然后再使用它计算行列式。 例如。

Matrix M3 = Matrix(
    1, 0, 0, 0,
    -3, 3, 0, 0,
    3, -6, 3, 0,
    -1, 3, -3, 1);
Matrix B = Matrix(
    p1.X, p1.Y, 0, 1,
    p2.X, p2.Y, 0, 1,
    p3.X, p3.Y, 0, 1,
    p4.X, p4.Y, 0, 1);
Matrix C = M3*B;

然后您使用 C 矩阵的每一行作为代码中 m1 到 m4 矩阵的坐标。其中行的第一个和第二个值是 x,y 坐标，最后一个是 w 坐标。

最后纹理坐标矩阵需要乘以M3的倒数 例如。

Matrix invM3 = Matrix(
    1, 0, 0, 0,
    1, 0.3333333, 0, 0,
    1, 0.6666667, 0.333333, 0,
    1, 1, 1, 1);
Matrix F = Matrix(
    TexCoord1,
    TexCoord2,
    TexCoord3,
    TexCoord4);
Matrix result = invM3*F;

结果矩阵的每一行对应于着色器所需的纹理坐标。

我还没有自己实现，所以不能保证它会解决你的问题。这只是我在阅读论文后注意到您的实现中缺少的内容。

我希望这会有所帮助，如果我错了请告诉我，因为我很快就会尝试这个。