c - O(n) 中各点的绝对距离

Question

我陷入了疑问。问题的一部分要求计算一个点到各个点的绝对距离之和。 |x - x1| + |x - x2| + |x - x3| + |x - x4| ....

我必须在 O(n) 中为每个点计算这个距离，同时在数组中迭代，例如:

数组 = { 3,5,4,7,5}
与先前点的距离总和

dis[0] = 0;
dis[1] = |3-5| = 2
dis[2] = |3-4| + |5-4| = 2
dis[3] = |3-7| + |5-7| + |4-7| = 9
dis[4] = |3-5| + |5-5| + |4-5| + |7-5| = 5

任何人都可以建议算法来做到这一点吗？ 小于 O(n^2) 的算法将受到赞赏(不一定是 O(n))。

O(n^2) 的代码

REP(i,n){
   LL ans = 0;
   for(int j=0;j<i;j++)
      ans= ans + abs(a[i]-a[j])
   dis[i]=ans;
}

Answer 1

O(n log n)算法是可能的。

假设我们有一个整数列表的数据结构，它支持:

Insert(x)
SumGreater(x)
SumLesser(x)

Insert(x) inserts x into the list.
SumGreater(x) gives the sum of all elements greater than x, which are in the list.
SumLesser(x) gives the sum of elements < x.
NumGreater(x) gives the number of all elements greater than x.
NumLesser(x) gives the number of all elements < x.

使用平衡二叉树，在节点中存储累积子树总和和子树计数，我们可以在 O(log n) 时间内实现每个操作。

将此结构用于您的问题。

从左到右遍历数组，当遇到新元素x时

您查询已插入的数字 SumGreater(x) = G and SumLesser(x) = L and NumGreater(x) = n_G and NumLesser(x) = n_L

x 的值将是 (G - n_G*x) + (n_L*x-L)。

然后你插入 x 并继续。