c - C 中的逆误差函数

Question

是否可以在 C 中计算反误差函数？

我可以找到 erf(x)在 <math.h>它计算误差函数，但我找不到任何东西来做反函数。

Answer 1

目前，ISO C 标准数学库不包括 erfinv() 或其单精度变体 erfinvf()。然而，创建自己的版本并不太难，我在下面通过具有合理准确性和性能的 erfinvf() 实现来演示。

查看 graph of the inverse error function我们观察到它是高度非线性的，因此很难用多项式近似。处理这种情况的一种策略是通过将更简单的初等函数(它们本身可以以高性能和出色的精度计算)和更容易服从多项式逼近或有理数的相当线性的函数组合来“线性化”这样的函数低阶近似值。

这里是文献中已知的一些erfinv 线性化方法，所有这些方法都基于对数。通常，作者会区分逆误差函数的一个主要的、相当线性的部分，从零到大约 0.9 的切换点，以及从切换点到 1 的 tail 部分。下面log()表示自然对数，R()表示有理逼近，P()表示多项式逼近。

一个。 J. Strecok，“关于误差函数的反函数的计算”。 计算数学，卷。 22，第 101 期(1968 年 1 月)，第 144-158 页 (online)

β(x) = (-log(1-x²]))^½; erfinv(x) = x · R(x²) [main]; R(x) · β(x) [tail]

J. M. Blair、C. A. Edwards、J. H. Johnson，“误差函数反函数的有理切比雪夫近似”。 计算数学，卷。 30，第 136 期(1976 年 10 月)，第 827-830 页 (online)

ξ = (-log(1-x))^-½; erfinv(x) = x · R(x²) [main]; ξ^-1 · R(ξ) [tail]

米。贾尔斯，“逼近 erfinv 函数。” GPU Computing Gems Jade Edition，第 109-116 页。 2011. (online)

w = -log(1-x²); s = √w; erfinv(x) = x · P(w) [main]; x · P(s) [tail]

下面的解决方案通常遵循 Giles 的方法，但对其进行了简化，不需要尾部的平方根，即它使用 x · P(w) 类型的两个近似值。该代码最大限度地利用了融合乘加运算 FMA，它通过 C 中的标准数学函数 fma() 和 fmaf() 公开。许多常见的计算平台， 如 IBM Power、Arm64、x86-64 和 GPU 在硬件中提供此操作。在不存在硬件支持的情况下，使用 fma{f}() 可能会使下面的代码慢得无法接受，因为该操作需要由标准数学库模拟。此外，功能不正确的 FMA 仿真 are known to exist .

标准数学库的对数函数logf()的精度会对下面my_erfinvf()的精度产生一定的影响。只要该库提供了错误 < 1 ulp 的忠实全面的实现，规定的错误范围就应该成立，我尝试过的几个库也是如此。为了提高可重现性，我包含了我自己的可移植的忠实实现，my_logf()。

#include <math.h>
float my_logf (float);

/* compute inverse error functions with maximum error of 2.35793 ulp */
float my_erfinvf (float a)
{
    float p, r, t;
    t = fmaf (a, 0.0f - a, 1.0f);
    t = my_logf (t);
    if (fabsf(t) > 6.125f) { // maximum ulp error = 2.35793
        p =              3.03697567e-10f; //  0x1.4deb44p-32 
        p = fmaf (p, t,  2.93243101e-8f); //  0x1.f7c9aep-26 
        p = fmaf (p, t,  1.22150334e-6f); //  0x1.47e512p-20 
        p = fmaf (p, t,  2.84108955e-5f); //  0x1.dca7dep-16 
        p = fmaf (p, t,  3.93552968e-4f); //  0x1.9cab92p-12 
        p = fmaf (p, t,  3.02698812e-3f); //  0x1.8cc0dep-9 
        p = fmaf (p, t,  4.83185798e-3f); //  0x1.3ca920p-8 
        p = fmaf (p, t, -2.64646143e-1f); // -0x1.0eff66p-2 
        p = fmaf (p, t,  8.40016484e-1f); //  0x1.ae16a4p-1 
    } else { // maximum ulp error = 2.35002
        p =              5.43877832e-9f;  //  0x1.75c000p-28 
        p = fmaf (p, t,  1.43285448e-7f); //  0x1.33b402p-23 
        p = fmaf (p, t,  1.22774793e-6f); //  0x1.499232p-20 
        p = fmaf (p, t,  1.12963626e-7f); //  0x1.e52cd2p-24 
        p = fmaf (p, t, -5.61530760e-5f); // -0x1.d70bd0p-15 
        p = fmaf (p, t, -1.47697632e-4f); // -0x1.35be90p-13 
        p = fmaf (p, t,  2.31468678e-3f); //  0x1.2f6400p-9 
        p = fmaf (p, t,  1.15392581e-2f); //  0x1.7a1e50p-7 
        p = fmaf (p, t, -2.32015476e-1f); // -0x1.db2aeep-3 
        p = fmaf (p, t,  8.86226892e-1f); //  0x1.c5bf88p-1 
    }
    r = a * p;
    return r;
}

/* compute natural logarithm with a maximum error of 0.85089 ulp */
float my_logf (float a)
{
    float i, m, r, s, t;
    int e;

    m = frexpf (a, &e);
    if (m < 0.666666667f) { // 0x1.555556p-1
        m = m + m;
        e = e - 1;
    }
    i = (float)e;
    /* m in [2/3, 4/3] */
    m = m - 1.0f;
    s = m * m;
    /* Compute log1p(m) for m in [-1/3, 1/3] */
    r =             -0.130310059f;  // -0x1.0ae000p-3
    t =              0.140869141f;  //  0x1.208000p-3
    r = fmaf (r, s, -0.121484190f); // -0x1.f19968p-4
    t = fmaf (t, s,  0.139814854f); //  0x1.1e5740p-3
    r = fmaf (r, s, -0.166846052f); // -0x1.55b362p-3
    t = fmaf (t, s,  0.200120345f); //  0x1.99d8b2p-3
    r = fmaf (r, s, -0.249996200f); // -0x1.fffe02p-3
    r = fmaf (t, m, r);
    r = fmaf (r, m,  0.333331972f); //  0x1.5554fap-2
    r = fmaf (r, m, -0.500000000f); // -0x1.000000p-1
    r = fmaf (r, s, m);
    r = fmaf (i,  0.693147182f, r); //  0x1.62e430p-1 // log(2)
    if (!((a > 0.0f) && (a <= 3.40282346e+38f))) { // 0x1.fffffep+127
        r = a + a;  // silence NaNs if necessary
        if (a  < 0.0f) r = ( 0.0f / 0.0f); //  NaN
        if (a == 0.0f) r = (-1.0f / 0.0f); // -Inf
    }
    return r;
}