我正在为需要执行非常具体的指数函数的 PIC 微 Controller 编写 C 程序。我需要计算以下内容:
A = k。 (1 - (p/p0)^0.19029)
k 和 p0 是常数，所以除了找到 x^0.19029 之外，一切都非常简单
(p/p0) 比率将始终在 0-1 的范围内。
如果我添加 math.h 并使用幂函数，它运行良好，除了用完所有可用的 16 kB 程序存储器。谈论英国媒体报道! (没有电源函数的其余程序 = ~20% 的闪存使用率；添加 math.h 和电源函数，=100%)。
我还想让程序做一些其他的事情。我想知道我是否可以为 x^0.19029 编写一个特殊的案例实现，可能涉及迭代和某种查找表。
我的想法是为函数 x^0.19029 生成一个查找表，其中可能有 10-100 个 x 在 0-1 范围内的值。代码会找到一个接近的匹配项，然后(以某种方式)通过重新缩放查找表值来迭代地优化它。然而，这正是我迷失的地方，因为我的小脑袋无法想象所涉及的数学。
这种方法可行吗？
或者，我已经研究过使用 Exp(x) 和 Ln(x)，它们可以通过泰勒展开来实现。 b^x 可以通过以下方式找到:
b^x = (e^(ln b))^x = e^(x.ln(b))
(见:Wikipedia - Powers via Logarithms)
不过，这对我来说看起来有点棘手和复杂。我的实现是否可能比编译器的数学库更小，我是否可以针对我的特殊情况简化它(即基数 = 0-1，指数始终为 0.19029)？
请注意，目前 RAM 使用率还可以，但我的 Flash(用于代码存储)已不足。速度并不重要。有人已经建议我使用更大的内存和更多的闪存，但这听起来像是挥霍浪费!
[编辑] 当我说“(p/p0) 比率总是在 0-1 范围内”时，我很懒惰。实际上它永远不会达到 0，我昨晚做了一些计算并决定实际上 0.3 - 1 的范围就足够了!这意味着下面的一些更简单的解决方案应该是合适的。另外，上面的“k”是44330，我希望最终结果的误差小于0.1。我想这意味着 (p/p0)^0.19029 中的错误需要小于 1/443300 或 2.256e-6
最佳答案
使用样条。该函数的相关部分如下图所示。它大约像第 5 个根一样变化，因此有问题的区域接近 p / p0 = 0 。有数学理论如何以最佳方式放置样条的节点以最小化误差(参见 Carl de Boor:样条实用指南)。通常提前构造 B 形式的样条(使用工具箱，例如 Matlab 的样条工具箱 - 也由 C. de Boor 编写)，然后转换为分段多项式表示以进行快速评估。
在 C. de Boor, PGS 中，实际上以函数 g(x) = sqrt(x + 1) 为例(第 12 章，示例二)。这正是您所需要的。这本书多次提到这种情况，因为由于 x = -1 的无限导数，这对于任何插值方案来说都是一个难题。 PGS 的所有软件都可以作为 netlib 中的 PPPACK 免费获得，其中大部分也是 SLATEC(也来自 netlib)的一部分。
编辑(已删除)
(乘以 x 一次并没有太大帮助，因为它只对一阶导数进行正则化，而 x = 0 处的所有其他导数仍然是无限的。)
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我的感觉是，优化构造的样条曲线(遵循 de Boor)对于相对较低的精度要求将是最好的(也是最快的)。如果精度要求很高(比如 1e-8)，人们可能会被迫回到数学家几个世纪以来一直在研究的算法。在这一点上，最好简单地下载 glibc 的源代码并复制(前提是 GPL 是可接受的)中的任何内容glibc-2.19/sysdeps/ieee754/dbl-64/e_pow.c
由于我们不必包含整个 math.h ，因此内存不应该有问题，但我们只能从固定指数中获得微不足道的好处。
编辑 3
这是 @Joni 发现的来自 netlib 的 e_pow.c 的改编版本。这似乎是 glibc 上面提到的更现代实现的祖父。旧版本有两个优点:(1)它是公共(public)领域，以及(2)它使用的常量数量有限，如果内存是一种紧张的资源，这将是有益的(glibc 的版本定义了超过 10000 行的常量!)。以下是完全独立的代码，它将 x^0.19029 的 0 <= x <= 1 计算为 double (我针对 Python 的幂函数对其进行了测试，发现最多 2 位不同):
#define __LITTLE_ENDIAN
#ifdef __LITTLE_ENDIAN
#define __HI(x) *(1+(int*)&x)
#define __LO(x) *(int*)&x
#else
#define __HI(x) *(int*)&x
#define __LO(x) *(1+(int*)&x)
#endif
static const double
bp[] = {1.0, 1.5,},
dp_h[] = { 0.0, 5.84962487220764160156e-01,}, /* 0x3FE2B803, 0x40000000 */
dp_l[] = { 0.0, 1.35003920212974897128e-08,}, /* 0x3E4CFDEB, 0x43CFD006 */
zero = 0.0,
one = 1.0,
two = 2.0,
two53 = 9007199254740992.0, /* 0x43400000, 0x00000000 */
/* poly coefs for (3/2)*(log(x)-2s-2/3*s**3 */
L1 = 5.99999999999994648725e-01, /* 0x3FE33333, 0x33333303 */
L2 = 4.28571428578550184252e-01, /* 0x3FDB6DB6, 0xDB6FABFF */
L3 = 3.33333329818377432918e-01, /* 0x3FD55555, 0x518F264D */
L4 = 2.72728123808534006489e-01, /* 0x3FD17460, 0xA91D4101 */
L5 = 2.30660745775561754067e-01, /* 0x3FCD864A, 0x93C9DB65 */
L6 = 2.06975017800338417784e-01, /* 0x3FCA7E28, 0x4A454EEF */
P1 = 1.66666666666666019037e-01, /* 0x3FC55555, 0x5555553E */
P2 = -2.77777777770155933842e-03, /* 0xBF66C16C, 0x16BEBD93 */
P3 = 6.61375632143793436117e-05, /* 0x3F11566A, 0xAF25DE2C */
P4 = -1.65339022054652515390e-06, /* 0xBEBBBD41, 0xC5D26BF1 */
P5 = 4.13813679705723846039e-08, /* 0x3E663769, 0x72BEA4D0 */
lg2 = 6.93147180559945286227e-01, /* 0x3FE62E42, 0xFEFA39EF */
lg2_h = 6.93147182464599609375e-01, /* 0x3FE62E43, 0x00000000 */
lg2_l = -1.90465429995776804525e-09, /* 0xBE205C61, 0x0CA86C39 */
ovt = 8.0085662595372944372e-0017, /* -(1024-log2(ovfl+.5ulp)) */
cp = 9.61796693925975554329e-01, /* 0x3FEEC709, 0xDC3A03FD =2/(3ln2) */
cp_h = 9.61796700954437255859e-01, /* 0x3FEEC709, 0xE0000000 =(float)cp */
cp_l = -7.02846165095275826516e-09, /* 0xBE3E2FE0, 0x145B01F5 =tail of cp_h*/
ivln2 = 1.44269504088896338700e+00, /* 0x3FF71547, 0x652B82FE =1/ln2 */
ivln2_h = 1.44269502162933349609e+00, /* 0x3FF71547, 0x60000000 =24b 1/ln2*/
ivln2_l = 1.92596299112661746887e-08; /* 0x3E54AE0B, 0xF85DDF44 =1/ln2 tail*/
double pow0p19029(double x)
{
double y = 0.19029e+00;
double z,ax,z_h,z_l,p_h,p_l;
double y1,t1,t2,r,s,t,u,v,w;
int i,j,k,n;
int hx,hy,ix,iy;
unsigned lx,ly;
hx = __HI(x); lx = __LO(x);
hy = __HI(y); ly = __LO(y);
ix = hx&0x7fffffff; iy = hy&0x7fffffff;
ax = x;
/* special value of x */
if(lx==0) {
if(ix==0x7ff00000||ix==0||ix==0x3ff00000){
z = ax; /*x is +-0,+-inf,+-1*/
return z;
}
}
s = one; /* s (sign of result -ve**odd) = -1 else = 1 */
double ss,s2,s_h,s_l,t_h,t_l;
n = ((ix)>>20)-0x3ff;
j = ix&0x000fffff;
/* determine interval */
ix = j|0x3ff00000; /* normalize ix */
if(j<=0x3988E) k=0; /* |x|<sqrt(3/2) */
else if(j<0xBB67A) k=1; /* |x|<sqrt(3) */
else {k=0;n+=1;ix -= 0x00100000;}
__HI(ax) = ix;
/* compute ss = s_h+s_l = (x-1)/(x+1) or (x-1.5)/(x+1.5) */
u = ax-bp[k]; /* bp[0]=1.0, bp[1]=1.5 */
v = one/(ax+bp[k]);
ss = u*v;
s_h = ss;
__LO(s_h) = 0;
/* t_h=ax+bp[k] High */
t_h = zero;
__HI(t_h)=((ix>>1)|0x20000000)+0x00080000+(k<<18);
t_l = ax - (t_h-bp[k]);
s_l = v*((u-s_h*t_h)-s_h*t_l);
/* compute log(ax) */
s2 = ss*ss;
r = s2*s2*(L1+s2*(L2+s2*(L3+s2*(L4+s2*(L5+s2*L6)))));
r += s_l*(s_h+ss);
s2 = s_h*s_h;
t_h = 3.0+s2+r;
__LO(t_h) = 0;
t_l = r-((t_h-3.0)-s2);
/* u+v = ss*(1+...) */
u = s_h*t_h;
v = s_l*t_h+t_l*ss;
/* 2/(3log2)*(ss+...) */
p_h = u+v;
__LO(p_h) = 0;
p_l = v-(p_h-u);
z_h = cp_h*p_h; /* cp_h+cp_l = 2/(3*log2) */
z_l = cp_l*p_h+p_l*cp+dp_l[k];
/* log2(ax) = (ss+..)*2/(3*log2) = n + dp_h + z_h + z_l */
t = (double)n;
t1 = (((z_h+z_l)+dp_h[k])+t);
__LO(t1) = 0;
t2 = z_l-(((t1-t)-dp_h[k])-z_h);
/* split up y into y1+y2 and compute (y1+y2)*(t1+t2) */
y1 = y;
__LO(y1) = 0;
p_l = (y-y1)*t1+y*t2;
p_h = y1*t1;
z = p_l+p_h;
j = __HI(z);
i = __LO(z);
/*
* compute 2**(p_h+p_l)
*/
i = j&0x7fffffff;
k = (i>>20)-0x3ff;
n = 0;
if(i>0x3fe00000) { /* if |z| > 0.5, set n = [z+0.5] */
n = j+(0x00100000>>(k+1));
k = ((n&0x7fffffff)>>20)-0x3ff; /* new k for n */
t = zero;
__HI(t) = (n&~(0x000fffff>>k));
n = ((n&0x000fffff)|0x00100000)>>(20-k);
if(j<0) n = -n;
p_h -= t;
}
t = p_l+p_h;
__LO(t) = 0;
u = t*lg2_h;
v = (p_l-(t-p_h))*lg2+t*lg2_l;
z = u+v;
w = v-(z-u);
t = z*z;
t1 = z - t*(P1+t*(P2+t*(P3+t*(P4+t*P5))));
r = (z*t1)/(t1-two)-(w+z*w);
z = one-(r-z);
__HI(z) += (n<<20);
return s*z;
}
显然，50 多年的研究已经深入到这一点，所以可能很难做得更好。 (必须意识到整个算法中有 0 个循环，只有 2 个除法，并且只有 6 个
if 语句!)再次原因是 x = 0 的行为，所有导数都发散，这使得很难控制错误:我曾经有一个 18 节的样条表示，它对 x = 1e-4 很好，绝对和相对错误 < 5e-4 无处不在，但是去 x = 1e-5 再次破坏了一切。因此，除非放宽任意接近零的要求，否则我建议使用上面给出的
e_pow.c 的改编版本。编辑 4
现在我们知道域
0.3 <= x <= 1 已经足够了，而且我们对准确率的要求非常低，Edit 3 显然是大材小用了。正如@MvG 所证明的那样，该函数的表现非常好，以至于 7 次多项式足以满足精度要求，可以将其视为单个样条线段。 @MvG 的解决方案最大限度地减少了积分误差，这看起来已经很不错了。问题是我们还能做得更好吗？找到最小化感兴趣区间中最大误差的给定次数的多项式会很有趣。答案是 minimax
多项式，可以使用 Remez 算法找到，该算法在 Boost 库中实现。我喜欢@MvG 将
x = 1 的值限制为 1 的想法，我也会这样做。这是 minimax.cpp :#include <ostream>
#define TARG_PREC 64
#define WORK_PREC (TARG_PREC*2)
#include <boost/multiprecision/cpp_dec_float.hpp>
typedef boost::multiprecision::number<boost::multiprecision::cpp_dec_float<WORK_PREC> > dtype;
using boost::math::pow;
#include <boost/math/tools/remez.hpp>
boost::shared_ptr<boost::math::tools::remez_minimax<dtype> > p_remez;
dtype f(const dtype& x) {
static const dtype one(1), y(0.19029);
return one - pow(one - x, y);
}
void out(const char *descr, const dtype& x, const char *sep="") {
std::cout << descr << boost::math::tools::real_cast<double>(x) << sep << std::endl;
}
int main() {
dtype a(0), b(0.7); // range to optimise over
bool rel_error(false), pin(true);
int orderN(7), orderD(0), skew(0), brake(50);
int prec = 2 + (TARG_PREC * 3010LL)/10000;
std::cout << std::scientific << std::setprecision(prec);
p_remez.reset(new boost::math::tools::remez_minimax<dtype>(
&f, orderN, orderD, a, b, pin, rel_error, skew, WORK_PREC));
out("Max error in interpolated form: ", p_remez->max_error());
p_remez->set_brake(brake);
unsigned i, count(50);
for (i = 0; i < count; ++i) {
std::cout << "Stepping..." << std::endl;
dtype r = p_remez->iterate();
out("Maximum Deviation Found: ", p_remez->max_error());
out("Expected Error Term: ", p_remez->error_term());
out("Maximum Relative Change in Control Points: ", r);
}
boost::math::tools::polynomial<dtype> n = p_remez->numerator();
for(i = n.size(); i--; ) {
out("", n[i], ",");
}
}
由于我们使用的 boost 的所有部分都是头文件，只需使用以下命令构建:
c++ -O3 -I<path/to/boost/headers> minimax.cpp -o minimax我们最终得到系数，乘以 44330 后:
24538.3409, -42811.1497, 34300.7501, -11284.1276, 4564.5847, 3186.7541, 8442.5236, 0.下面的误差图表明，这确实是最好的 7 次多项式近似，因为所有极值都具有相同的幅度 (0.06659):
如果需求发生变化(同时仍然远离 0!)，上面的 C++ 程序可以简单地调整为吐出新的最优多项式近似。
关于使用查找表以低内存计算(x 指数 0.19029)？，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题： https://stackoverflow.com/questions/23482691/