java - 计算序列中尾随零的数量

Question

考虑 s(0) 的序列和 s(1)是输入，s(n) = s(n-1) * s(n-2)对于所有 n >= 2 .我想在 s(n) 中找到尾随零的数量.我们可以假设如下:

• n , s(0) , 和 s(1)作为输入给出
• n <= 40
• s(0) <= 20
• s(1) <= 20

下面是我的代码尝试。 n 时未运行大于 30(它运行了很长时间)。有没有其他方法可以计算尾随零的数量？

public class Soroco {

  public static void main(String[] args) throws IOException {
    BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
    BigInteger n = new BigInteger(br.readLine());
    BigInteger s0 = new BigInteger(br.readLine());
    BigInteger s1 = new BigInteger(br.readLine());
    BigInteger num = s(n, s0, s1);
    System.out.println(num);
    System.out.println(countTrailingZeroes(num));
  }

  static BigInteger s(BigInteger n, BigInteger s0, BigInteger s1) {
    if (n.equals(new BigInteger("0")))
        return s0;
    else if (n.equals(new BigInteger("1")))
        return s1;
    else {
        BigInteger n1=n.subtract(new BigInteger("1"));
        BigInteger n2=n.subtract(new BigInteger("2"));
        BigInteger n3=s(n1, s0, s1).multiply(s(n2, s0, s1));
        return n3;
    }
  }

  static int countTrailingZeroes(BigInteger num) {
    String str = String.valueOf(num);
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < str.length(); i++)
        if (str.charAt(i) == '0')
            count++;
    return count;
  }
}

Answer 1

无需执行整个乘法，您只需要跟踪 2 和 5 的因数。如果一个数字可以写成 N = 2^a * 5^b *(除 2 或5)，则N中尾随零的个数为min(a, b)。 (这是因为尾随零只是 10 的因数，这需要一个 2 和一个 5。)

请注意，乘法将因子的指数加在一起。所以，如果你可以写:

s(n-2) = 2^a * 5^b * (factors other than 2 or 5)
s(n-1) = 2^c * 5^d * (factors other than 2 or 5)

然后我们有:

s(n) = s(n-1) * s(n-2)
     = 2^(a+c) * 5^(b+d) * (factors other than 2 or 5)

因此，我们可以把这个问题看成两个Fibonacci sequences .您从 s(0) 和 s(1) 中 2 和 5 的数量开始，计算 s(2) 中 2 和 5 的数量, s(3), ..., s(n) 斐波那契数列方式:

#2s in s(n) = (#2s in s(n-1)) + (#2s in s(n-2))
#5s in s(n) = (#5s in s(n-1)) + (#5s in s(n-2))

最后，尾随零的数量是min(#2s in s(n), #5s in s(n))。

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上述算法(如果用循环或内存递归实现)是O(n)。您的尝试在 n 中呈指数增长，这就是为什么即使对于 n = 30 也需要很长时间才能运行。我并不是要抨击你的尝试，但了解这些错误是件好事——你的代码速度慢的主要原因有两个:

首先，将非常大的整数完全精确地相乘(就像您对 BigInteger 所做的那样)非常慢，因为每次乘法的位数都会加倍。如果您只关心尾随零的数量，则不需要完全精确。

其次，忽略乘法成本，s 的递归实现仍然是指数时间，但不一定是。请注意，您多次计算相同的值——s(n-2) 是针对 s(n) 和 s(n- 1)，但是s(n-2)的值显然是一样的。诀窍是memoize the recursion通过记住先前计算的结果，以避免重新计算。或者，您可以使用循环计算类似斐波那契的序列:

// Computes the n-th Fibonacci number in O(n) time
int[] fib = new int[n + 1];
fib[0] = 0;
fib[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++)
    fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2];
return fib[n];

这是一种比内存递归更简单的方法，至少对于这个问题而言。