python - 通过椭圆的线性回归显示意外行为

Question

我在空图像上绘制二维椭圆。现在，我想通过椭圆拟合一条线以获得长轴。知道有很多选择(PCA、图像矩等)，我认为线性回归应该可以完成这项工作。但是，它仅在椭圆的旋转平行于 x 轴时才“有效”。为什么是这样？任何均匀分布的对称点云不应该给出中线吗？

这是我使用的代码:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
from skimage.draw import ellipse
from ipywidgets import interact
from sklearn.linear_model import LinearRegression

@interact
def rotateAndFit(rot:(-90,90)=-90):
    im = np.zeros((300,300), dtype=np.float64)
    im[ellipse(im.shape[0]//2, # center x
               im.shape[1]//2-10, # center y
               120,            # radius major axis
               40,             # radius minor axis
               im.shape,       # image shape
               rot/180*np.pi)] = 1  # rotation angle in degree,


    # Get corresponding x and y values
    y, x = np.where(im)

    # Do Linear Regression
    lr = LinearRegression()
    lr.fit(x[None].T,y)

    plt.imshow(im)
    plt.plot([0, 300], [lr.intercept_, lr.coef_[0]*300+lr.intercept_])
    plt.axis([0,300,300,0])
    plt.title('rotation $r = {}°$'.format(rot))

代码提供以下输出:

我真的很困惑，有什么想法吗？我正在使用岭回归和套索回归来调整权重，但它们降低了权重，但似乎权重，即斜率必须更陡，我认为线性回归低估了斜率。有趣的是，线性回归通常是一种“点”对称，但不是跨线对称......我理解接近 0° 的行为，斜率不能是无穷大。但它至少应该适用于低度旋转。

Answer 1

回归线不能与主轴重合，因为回归在 y 方向上最小化，而不是垂直于回归线。以下示例在 y 中使用正交距离回归而不是线性回归，它给出了所需的结果:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
from skimage.draw import ellipse
from ipywidgets import interact
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from scipy.odr import ODR, Model, Data

def lin(beta, x):
    a,b = beta
    return a*x+b

@interact(rot=(-90,90))
def rotateAndFit(rot=-90):
    im = np.zeros((300,300), dtype=np.float64)
    im[ellipse(im.shape[0]//2, # center x
               im.shape[1]//2-10, # center y
               120,            # radius major axis
               40,             # radius minor axis
               im.shape,       # image shape
               rot/180*np.pi)] = 1  # rotation angle in pi (40°),


    y, x = np.where(im)

    d = Data(x,y)
    m = Model(lin)
    o = ODR(d, m, [0,0])
    out = o.run()
    a,b = out.beta

    plt.imshow(im)
    plt.plot([0, 300], [b, a*300+b])
    plt.axis([0,300,300,0])
    plt.title('rotation $r = {}°$'.format(rot))