python - 为什么这个 even 函数的 FFT 不是真实的？

Question

因此，在 iPython 中，我运行以下命令，

In [1]: from pylab import *;

In [2]: x = np.array([4.,3.,2.,1.,0.,1.,2.,3.,4.]);

In [3]: rfft(x)
Out[3]:
array([ 20.00000000+0.j        ,   7.79085937+2.83564091j,
        -0.21688142-0.18198512j,   0.50000000+0.8660254j ,
        -0.07397795-0.41954982j])

变量 x 是围绕数组中间元素的偶数函数，但它的 fft 并不像它应该的那样完全真实。这是为什么？我如何向 numpy/scipy 的 fft 函数输入一个偶数函数，以便它将其解释为它应该是的偶数函数？

Answer 1

N 样本覆盖了信号的一个周期，没有重复样本(即不包括与第一个样本相同的 (N+1)^st 样本).为了形象化这一点，您可以将样本与相应的对称候选对象进行匹配以获得:

given signal        :              4 3 2 1 0 1 2 3 4
periodic extension  : ...  1 2 3 4 4 3 2 1 0 1 2 3 4 4 3 2 1 0 1 2 3 4 ...
symmetry            :              ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
                                   | | | | |_| | | | |
                                   | | | |_____| | | |
                                   | | |_________| | |
                                   | |_____________| |
                                   |_________________|

您还可以通过绘制信号来验证这一点:

plt.plot(np.arange(18), np.append(x, x));
plt.plot(np.array([ 4.5, 4.5]), np.array([0,5]), 'r--');
plt.plot(np.array([ 9.0, 9.0]), np.array([0,5]), 'k--');
plt.plot(np.array([13.5,13.5]), np.array([0,5]), 'r--');
plt.axis([0, 18, 0, 5]);
plt.grid(True);
plt.show();

黑色虚线代表信号的周期，红线代表周期的中点。如您所见，信号实际上是不对称的。

因此，根据不重复第一个样本的惯例，要获得对称信号，您应该将信号定义为:

x = np.array([4.,3.,2.,1.,0.,1.,2.,3.])

应用 rfft 将产生以下实值(在数值精度内)频域序列:

array([ 16.00000000 +0.00000000e+00j,   6.82842712 -1.11022302e-15j,
         0.00000000 -0.00000000e+00j,   1.17157288 -1.11022302e-15j,
         0.00000000 +0.00000000e+00j])