python - 求二项式系数模质数，面试街头挑战

Question

我在这方面做了很多工作，但找不到更大测试用例的答案

问题陈述

在数学中，二项式系数是作为二项式定理中的系数出现的一族正整数。 C(n,k)表示从n个不同对象中选择k个对象的方法数。

但是当n和k过大时，我们往往对质数P取模后保存。请计算n对P取模后有多少个二项式系数为0。

输入

输入的第一个是整数T，测试用例的数量。

接下来的 T 行中的每一行都包含 2 个整数，n 和素数 P。

输出

对于每个测试用例，输出一行包含\tbinom nks (0<=k<=n) 的个数，每个 nks 被 P 取模后为 0。

示例输入

3
2 2
3 2
4 3

示例输出

1
0
1

约束:

• T小于100
• n 小于 10^500。
• P 小于 10^9。

尝试的解决方案

我已经通过使用二项式系数中的余数定理完成了这个

         #C(n,m) mod p
         #n=l*p+t
         #m=m*p+s
         #then C(n,r) mod p=0 when (t<s or t=0)

         inp1 = raw_input()
         N=int(inp1)
         result=[]
         for i in range(N):
            inp = raw_input()
            a, b = [long(x) for x in inp.split(' ')]
           j=0
           #n=lp+t
           t=a%b
           t=t+1
           l=a/b
           j=l*(b-t)
           result.append(j)
        for i in range(N):
           print result[i]

小数满足上述条件

示例测试用例

n=18794630773460178101742670493883191390743597826923079533199667903991430393463990462500322752062869664969026409174076912867222446746310051635510258172105034070506806228555577773599018819952185016092141574603857551738968553782672643049704163674318579695215402562964641111900657274032612661770435202254364177910753450214277150377049334509093906874400306682949871260040370515062243982543271073443613028133844603853807066311479739789908983610180228625059956919930500586048799830730348503994503184106117058

p=177080341

我的输出是

2296508200406431043037217853758906667313789305876262916681342008001095232916608835588093082038358975456171743147798282523487485386336553910277635713985851142371010771392102277877640275384064735398164190968282400640398659343189330639672472613876688344609533340662724884373078840434716174167873375700938597411315754265893890741730938202927739246687866166994143001482839656000969674716959277820008958538229366474207686428750934149471409162993083541475267772950721250234982686128039722553219836725588488

预期输出是

18794630773460178101742635959946548665553041135822283621364103266511586625905046107130878283695016799933475657268010472422112556606280021574002866456544310584537519228161286450725015989697306855581489155139723025246780552510467580791551824827637581156204185887378181074365453150481221030356075255000460025095384537510111086396988416046942446776262625161326885418101128327416784858513888616089287333560469336094431461981368825028447505354473183546488856594449627370807707483671453574074503184106117059

Answer 1

您可以从另一端看:有多少 nCr 不能被 p 整除？有一个相当简单的公式。

预赛:

二项式系数 nCr 由下式给出

nCr = n! / (r! * (n-r)!)

因此 nCr 中 p 的重数 v_p(nCr) - 质数中 p 的指数nCr 的因式分解 - 是

v_p(nCr) = v_p(n!) - v_p(r!) - v_p((n-r)!)

n! 中 p 的重数很容易确定，一种众所周知的计算方法是

v_p(n!) =  ∑ floor(n/p^k)
         k > 0

如果考虑 n 的基数 p 扩展，您可以看到这个公式，您可以看到

v_p(n!) = (n - σ_p(n)) / (p - 1)

其中 σ_p(k) 是 k 的基本 p 表示的数字之和。因此

v_p(nCr) = (n - σ_p(n) - r + σ_p(r) - (n-r) + σ_p(n-r)) / (p - 1)
         = (σ_p(r) + σ_p(n-r) - σ_p(n)) / (p - 1)

结论:

nCr 不能被素数 p 整除当且仅当 r 和 相加>n-r 在 p 基数中没有进位。

因为那正是 σ_p(a + b) = σ_p(a) + σ_p(b) 的时候。当 a 和 b 的相应数字之和(如果已经为较低有效数字产生进位，则可能加上进位)是加法中的进位>= p，则和中对应的数字减p，下一位高位加1，数字和减p - 1 。

我们有一个无进位加法n = r + (n-r) in base p if for each digit d_k in n的base-p展开，r对应的位数小于等于d_k。 r 的数字的允许选择是独立的，因此总数是单个数字的选择计数的乘积。

不能被素数p整除的nCr的个数是

ND(n,p) = ∏(d_k + 1)

其中 d_k 是 n 的基础 p 扩展中的数字，

    m
n = ∑ d_k * p^k
   k=0

由于对于给定的 n 有 n+1(非零)二项式系数 nCr，因此(非零)二项式系数的数量 nCr 被 p 整除是

        m
n + 1 - ∏ (d_k + 1)
       k=0

用 n 的上述基础 p 扩展。

使用 Michael's example n = 10, p = 3,

10 = 1*3^0 + 0*3^1 + 1*3^2

所以有 (1+1)*(0+1)*(1+1) = 4 系数 10Cr 不能被 3 和 10 整除+ 1 - 4 = 7 可被 3 整除。

def divisibleCoefficients(n,p):
    m, nondiv = n, 1
    while m > 0:
        nondiv = nondiv * ((m % p) + 1)
        m = m // p
    return (n + 1 - nondiv)