python - 为什么 fmod(1.0,0.1) == .1？

Question

这个现象我是先在 Python 中遇到的，后来发现这是常见的答案，例如 MS Excel 就给出了这个。 Wolfram Alpha 给出了一个有趣的 split 式答案，它指出零的有理逼近是 1/5。 ( 1.0 mod 0.1 )

另一方面，如果我手动实现定义，它会给出“正确”答案 (0)。

def myFmod(a,n):
    return a - floor(a/n) * n

这是怎么回事。我错过了什么吗？

Answer 1

因为 0.1 不是 0.1；该值不能用 double 表示，因此它会四舍五入到最接近的 double 字，这恰好是:

0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625

当您调用 fmod 时，您会得到除以上面列出的值的余数，这恰好是:

0.0999999999999999500399638918679556809365749359130859375

打印时四舍五入为 0.1(或者 0.0999999999999995)。

换句话说，fmod 工作得很好，但您没有向它提供您认为的输入。

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编辑:您自己的实现会给您正确的答案，因为它不够准确，信不信由您。首先，请注意 fmod 计算余数时没有任何舍入误差；不准确的唯一来源是使用值 0.1 引入的表示错误。现在，让我们来看看您的实现，看看它产生的舍入误差如何完全抵消表示误差。

评估 a - floor(a/n) * n 一次一个步骤，跟踪每个阶段计算的确切值:

首先，我们评估 1.0/n，其中 n 是最接近 0.1 的 double 近似值，如上所示。这样划分的结果大概是:

9.999999999999999444888487687421760603063276150363492645647081359...

请注意，此值不是可表示的 double 字——因此它被四舍五入。要了解这种舍入是如何发生的，让我们看一下二进制而不是十进制的数字:

1001.1111111111111111111111111111111111111111111111111 10110000000...

空格表示四舍五入到 double 的位置。由于圆点后的部分大于精确的中点，因此该值四舍五入到恰好 10。

floor(10.0) 可以预见，10.0。所以剩下的就是计算 1.0 - 10.0*0.1。

在二进制中，10.0 * 0.1 的精确值为:

1.0000000000000000000000000000000000000000000000000000 0100

同样，该值不能表示为 double 值，因此会在空格指示的位置四舍五入。这次四舍五入到恰好 1.0，所以最终的计算结果是 1.0 - 1.0，当然是 0.0。

您的实现包含两个舍入误差，恰好抵消了本例中值 0.1 的表示误差。相比之下，fmod 是始终精确的(至少在具有良好数字库的平台上)，并暴露出 0.1 的表示错误。