带有时间序列的python递归矢量化

Question

我有一个时间序列 (s)，需要对其进行递归处理以获得时间序列结果 (res)。这是我的示例代码:

res=s.copy()*0  
res[1]=k # k is a constant  
for i in range(2,len(s)):  
    res[i]=c1*(s[i]+s[i-1])/2 +c2*res[i-1]+c3*res[i-2]

其中 c1、c2、c3 是常量。它工作正常，但我想使用矢量化，我试过:

res[2:]=c1*(s[2:]+s[1:-1])/2+c2*res[1:-1]+c3*res[0:-2]  

但我收到“ValueError:操作数无法与形状一起广播 (1016) (1018)”
如果我尝试

res=c1*(s[2:]+s[1:-1])/2+c2*res[1:-1]+c3*res[0:-2]  

没有给出任何错误，但我没有得到正确的结果，因为 res[0] 和 res[1] 必须在计算发生之前进行初始化。 有没有办法用向量化处理？
任何帮助将不胜感激，谢谢!

Answer 1

这个表达式

    res[i] = c1*(s[i] + s[i-1])/2 + c2*res[i-1] + c3*res[i-2]

表示 res 是具有输入 s 的线性滤波器(或 ARMA 过程)的输出。有几个库有计算这个的函数。以下是如何使用 scipy 函数 scipy.signal.lfilter .

通过考察递归关系，我们得到滤波器传递函数的分子(b)和分母(a)的系数:

b = c1 * np.array([0.5, 0.5])
a = np.array([1, -c2, -c3])

我们还需要 lfilter 的适当初始条件来处理 res[:2] == [0, k]。为此，我们使用 scipy.signal.lfiltic :

zi = lfiltic(b, a, [k, 0], x=s[1::-1])

在最简单的情况下，可以这样调用 lfilter:

y = lfilter(b, a, s)

对于初始条件 zi，我们使用:

y, zo = lfilter(b, a, s, zi=zi)

但是，为了与问题中提供的计算完全匹配，我们需要输出 y 以 [0, k] 开头。所以我们将分配一个数组 y，用 [0, k] 初始化前两个元素，并将 lfilter 的输出分配给 y[2:]:

y = np.empty_like(s)
y[:2] = [0, k]
y[2:], zo = lfilter(b, a, s[2:], zi=zi)

这是一个包含原始循环和 lfilter 的完整脚本:

import numpy as np
from scipy.signal import lfilter, lfiltic


c1 = 0.125
c2 = 0.5
c3 = 0.25

np.random.seed(123)
s = np.random.rand(8)
k = 3.0

# Original version (edited lightly)

res = np.zeros_like(s)
res[1] = k  # k is a constant  
for i in range(2, len(s)):  
    res[i] = c1*(s[i] + s[i-1])/2 + c2*res[i-1] + c3*res[i-2]


# Using scipy.signal.lfilter

# Coefficients of the filter's transfer function.
b = c1 * np.array([0.5, 0.5])
a = np.array([1, -c2, -c3])

# Create the initial condition of the filter such that
#     y[:2] == [0, k]
zi = lfiltic(b, a, [k, 0], x=s[1::-1])

y = np.empty_like(s)
y[:2] = [0, k]
y[2:], zo = lfilter(b, a, s[2:], zi=zi)

np.set_printoptions(precision=5)
print "res:", res
print "y:  ", y

输出是:

res: [ 0.       3.       1.53206  1.56467  1.24477  1.08496  0.94142  0.84605]
y:   [ 0.       3.       1.53206  1.56467  1.24477  1.08496  0.94142  0.84605]

---

lfilter 接受一个 axis 参数，因此您可以通过一次调用过滤一组信号。 lfiltic 没有 axis 参数，因此设置初始条件需要一个循环。以下脚本显示了一个示例。

import numpy as np
from scipy.signal import lfilter, lfiltic
import matplotlib.pyplot as plt


# Parameters
c1 = 0.2
c2 = 1.1
c3 = -0.5
k = 1

# Create an array of signals for the demonstration.
np.random.seed(123)
nsamples = 50
nsignals = 4
s = np.random.randn(nsamples, nsignals)

# Coefficients of the filter's transfer function.
b = c1 * np.array([0.5, 0.5])
a = np.array([1, -c2, -c3])

# Create the initial condition of the filter for each signal
# such that
#     y[:2] == [0, k]
# We need a loop here, because lfiltic is not vectorized.
zi = np.empty((2, nsignals))
for i in range(nsignals):
    zi[:, i] = lfiltic(b, a, [k, 0], x=s[1::-1, i])

# Create the filtered signals.
y = np.empty_like(s)
y[:2, :] = np.array([0, k]).reshape(-1, 1)
y[2:, :], zo = lfilter(b, a, s[2:], zi=zi, axis=0)

# Plot the filtered signals.
plt.plot(y, linewidth=2, alpha=0.6)
ptp = y.ptp()
plt.ylim(y.min() - 0.05*ptp, y.max() + 0.05*ptp)
plt.grid(True)
plt.show()

剧情: