C++ 转换为更精确的类型并失去准确性？

Question

考虑两种计​​算方式:

1. double 据
   -> 应用 double 临时函数
   -> 返回结果
2. double 据
   -> 转换为 long double
   -> 应用具有长 double 临时值的函数
   -> 加倍
   -> 返回结果

与第一个解决方案相比，第二个解决方案是否会给出不太准确的结果？如果是，在什么情况下？

Answer 1

是的。证明:令 c = 0x1p-53 + 0x1p-64。在 double 和 long double 中计算 1+c-c-1(常见的 Intel 格式，具有 64 位尾数)。在 double 中，结果为 0，这是数学上精确的答案。在 long double 中，结果是 -0x1p-64，这是错误的(并且在转换为 double 时仍然是错误的)。

在 double 中，1+c 将 1 的 ULP(最小精度单位)的一半略多一点加到 1，因此它产生 1 加上一个 ULP。减去 c 会减去略多于一半的 ULP，因此最接近结果的可表示数字( double )为 1，因此产生 1。然后减去 1 得到 0。

在 long double 中，1+c 加上 0x1p-53 加上 1 的半个 ULP。(在 long double 中，1 的 ULP 是 0x1p-63。)由于结果与两个最接近的可表示数字的距离完全相同(在 long double 中)，返回低位为零的那个，1+0x1p-53。那么减去c的确切结果就是1 - 0x1p-64。这是完全可表示的，所以它被返回。最后，减去 1 得到 -0x1p-64。