c++ - 快速等效于 STK 中引用的 DSP 的 sin()

Question

我正在使用 Perry Cook 的综合工具包 (STK) 的一些部分来生成锯齿波和方波。 STK 包括这个基于 BLIT 的锯齿波振荡器:

inline STKFloat BlitSaw::tick( void ) {
  StkFloat tmp, denominator = sin( phase_ );
  if ( fabs(denominator) <= std::numeric_limits<StkFloat>::epsilon() )
      tmp = a_;
  else {
      tmp = sin( m_ * phase_ );
      tmp /= p_ * denominator;
  }

  tmp += state_ - C2_;
  state_ = tmp * 0.995;

  phase_ += rate_;
  if ( phase_ >= PI ) 
     phase_ -= PI;

  lastFrame_[0] = tmp;
     return lastFrame_[0];
}

方波振荡器大致相似。在顶部，有这样的评论:

// A fully  optimized version of this code would replace the two sin 
// calls with a pair of fast sin oscillators, for which stable fast 
// two-multiply algorithms are well known.

我不知道从哪里开始寻找这些“快速二乘法算法”，我希望得到一些指点。我可以改用查找表，但我很想知道这些“快速正弦振荡器”是什么。我也可以使用简化的泰勒级数，但这不仅仅是两次乘法。尽管我确实找到了这个近似值，但搜索并没有发现任何东西:

#define AD_SIN(n) (n*(2.f- fabs(n))) 

绘制出来表明它并不是 -1 到 1 范围之外的近似值，所以我认为当 phase_ 在 -pi 到 pi 范围内时我不能使用它:

这里，正弦是蓝线，紫线是近似值。

分析我的代码表明对 sin() 的调用无疑是最耗时的调用，因此我真的很想优化这一部分。

谢谢

编辑 感谢您提供详细而多样的答案。我将探索这些并在周末接受一个。

EDIT 2 请匿名投票者在评论中解释他们的投票？谢谢。

Answer 1

本质上，正弦振荡器是一个(或多个)变量，它随每个 DSP 步骤而变化，而不是从头开始重新计算。

最简单的是基于以下三角恒等式:(其中 d 是常量，因此 cos(d) 和 sin(d) )

sin(x+d) = sin(x) cos(d) + cos(x) sin(d)
cos(x+d) = cos(x) cos(d) - sin(x) sin(d)

然而，这需要两个变量(一个用于 sin，一个用于 cos)和 4 次乘法来更新。然而，这仍然比在每一步计算一个完整的正弦函数要快得多。

Oli Charlesworth 的解是基于这个一般方程的解

A_{n+1} = a A_{n} + A_{n-1}

在寻找 A_n = k e^(i theta n) 形式的解时，给出了 theta 的方程。

e^(i theta (n+1) ) = a e^(i theta n ) + b e^(i theta (n-1) )

简化为

e^(i theta) - e^(-i theta ) = a
2 cos(theta) = a

给予

A_{n+1} = 2 cos(theta) A_{n} + A_{n-1}

无论您使用哪种方法，您都需要为每个频率使用一个或两个这些振荡器，或者使用另一个三角恒等式来导出更高或更低的频率。